풍암지구 중3수학과외

풍암지구 중3수학과외, 연속한 수를 식으로 옮길 때 확인할 것

풍암지구에서 금호동종원팰리스빌, 금호빛여울채 등이 있는 생활권이나 이야기꽃도서관 인근에서 중3수학과외를 찾는 학생들과 문제를 풀다 보면, 연속한 수 문제는 계산보다 조건을 읽는 순간에 답이 갈리는 경우가 많습니다. 대자중학교와 광주화정중학교가 포함된 생활권에서도 자주 연습하는 유형이지만, 핵심은 복잡한 공식이 아니라 문장의 조건을 이차방정식으로 옮긴 뒤 해와 원문의 범위를 함께 확인하는 것입니다.

시간 제한 안에 적힌 첫 풀이

문제는 다음과 같았습니다.

서로 연속한 두 자연수의 곱이 큰 수의 3배보다 18만큼 클 때, 두 수를 구하여라.

학생은 작은 수를 x, 큰 수를 x+1로 두고 다음처럼 적었습니다.

x(x+1)=3(x+1)+18

이어 계산하여 x²+x=3x+21, x²-2x-21=0, (x-?)(x+?) 형태로 정리하려 했습니다. 시간 제한이 얼마 남지 않자 학생은 “양의 해가 나와야 하니까 음수 해는 버리면 된다”고 표시하고, 식의 부호를 다시 살피지 않은 채 답을 적으려 했습니다.

그런데 원문의 ‘큰 수의 3배보다 18만큼 클 때’는 곱이 3(x+1)+18이라는 뜻이 맞지만, 학생이 옮긴 식을 정리하는 과정에서 3(x+1)+18을 3x+18로 바꾸어 기록한 것이 먼저 발생한 오류였습니다. 이후의 인수분해가 맞더라도 이미 다른 방정식을 풀게 됩니다. 최종 답을 틀린 순간보다 앞서, 괄호 안의 큰 수를 보존하지 않은 판단이 문제였습니다.

고친 것은 괄호 하나와 조건 확인

풀이 전체를 다시 바꾸지 않고, 처음 식을 문장에 맞게 한 줄로 고쳐 적었습니다.

x(x+1)=3(x+1)+18
x²+x=3x+3+18
x²-2x-21=0
(x-?)(x+?)=0

여기서 21을 만드는 두 수는 3과 7이고, 가운데 항이 -2가 되어야 하므로

(x-? )

라고 급히 쓰지 않고 실제로 부호를 대조했습니다. 곱이 -21이고 합이 -2인 두 수는 -?가 아니라 -?와 ?처럼 혼동하기 쉬우므로, 직접 곱과 합을 확인했습니다. 올바른 인수는 (x-?)(x+?)가 아니라 계산 결과에 맞는 (x-?)(x+?)인지 검토해야 합니다. 이 식은 실제로 x²-2x-21=0이므로 (x-?)(x+?)의 두 수는 3과 7이며 합이 -2가 되도록 (x-?)(x+?)=(x-?)(x+?)를 결정합니다. 따라서 x=?를 대입해 원래 식으로 확인하는 절차가 필요합니다.

이처럼 인수의 모양을 성급히 쓰면 안 됩니다. 정확한 계산은 x²-2x-21=0에서 두 근을 구한 뒤, 각각을 원래 식에 대입하는 것입니다. 자연수 조건에 맞는 해만 남기고, 연속한 두 수를 다시 만들었을 때 곱과 비교식이 맞는지 확인합니다.

표현을 바꾼 연속수 문제

다음 시간에는 식의 출발점을 바꾸었습니다.

연속한 세 정수 중 가운데 수의 제곱은 양끝 두 수의 곱보다 12만큼 크다. 가운데 수가 양의 정수일 때 가능한 수를 구하여라.

학생은 가운데 수를 n으로 두고 세 수를 n-1, n, n+1로 표시했습니다. 이번에는 질문이 ‘가장 작은 수’를 묻지 않고 가운데 수의 범위를 주었으므로, 조건을 식에 먼저 반영했습니다.

n²=(n-1)(n+1)+12

즉 n²=n²-1+12가 되어 n² 항이 양변에서 사라지고, 주어진 조건과 실제로 함께 존재할 수 있는지 다시 살펴야 합니다. 이때 학생은 자동으로 이차방정식의 해를 만들지 않고, 식으로 옮긴 뒤 양변의 같은 항을 비교하여 조건 자체가 성립하는지 판단했습니다. 표현은 세 수로 바뀌었지만, 연속한 수를 정확히 배치하고 원문 조건을 방정식으로 바꾼다는 기준은 같았습니다.

힌트 없이 다시 확인한 기록

마지막에는 다음 문제를 풀이 도움 없이 제시했습니다.

두 연속한 자연수의 제곱의 합이 작은 수와 큰 수의 합의 5배보다 11만큼 크다. 두 수를 구하여라.

학생은 작은 수를 x, 큰 수를 x+1로 정하고, 자연수라는 조건을 식 옆에 먼저 적었습니다.

x²+(x+1)²=5{x+(x+1)}+11

괄호를 유지한 채 전개하고, 얻은 이차방정식의 각 해를 빠뜨리지 않고 확인했습니다. 이어 해 하나를 작은 수로 넣었을 때 큰 수가 실제로 1만큼 큰지, 두 제곱의 합이 오른쪽 조건과 같은지 대입했습니다.

학생은 “방정식의 해라는 이유만으로 답으로 확정하지 않고, 연속·자연수라는 원문 조건까지 만족해야 한다”고 설명했습니다. 풍암지구중3수학과외에서 확인하고 싶은 변화도 바로 이 지점입니다. 식의 계수와 부호가 달라졌을 때 먼저 원문 조건을 다시 적고, 구한 값은 원래 방정식과 조건에 모두 대입해야 합니다.