상무지구 중등수학과외

상무지구중등수학과외, 산점도 마지막 점까지 살펴 양의 상관관계 근거 확인하기

산점도는 점이 몇 개 올라가는지만 보는 단원이 아니라, 모든 자료를 함께 보며 어떤 경향이 나타나는지 판단하는 내용입니다. 예를 들어 자료쌍 (1,12), (2,13), (3,14), (4,15)를 좌표평면에 표시하면 x가 1씩 커질 때 y도 12, 13, 14, 15로 함께 커집니다. 이때 답은 양의 상관관계입니다. 다만 정답을 맞혔더라도 “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”라는 질문에 이유를 연결하지 못하면, 점 하나가 달라진 산점도에서도 같은 판단을 할 수 있는지 확인할 필요가 있습니다.

네 점을 모두 본 뒤 양의 상관관계를 설명합니다

기본 자료에서는 (1,12)에서 (2,13), (3,14), (4,15)로 갈수록 점이 오른쪽 위 방향으로 일정하게 놓입니다. x의 변화량은 매번 +1이고 y의 변화량도 매번 +1이므로, 마지막 점 (4,15)까지 포함해 x가 증가할수록 y도 증가합니다. 따라서 산점도 전체에는 양의 상관관계가 있다고 설명할 수 있습니다. 여기서 ‘양의 상관관계’는 두 자료가 함께 증가하는 경향을 뜻하며, 네 점이 실제로 모두 그 경향에 들어가는지 확인해야 합니다. 경향선을 가볍게 그은 뒤 각 점이 그 주변에 놓이는지 보고, 특히 마지막 점을 따로 동그라미 쳐서 앞의 세 점만 보고 판단한 것은 아닌지 확인합니다.

함께 변한다고 원인과 결과가 정해지지는 않습니다

이 자료에서 말할 수 있는 것은 x와 y가 함께 증가하는 모습이 있다는 사실까지입니다. x가 늘었기 때문에 반드시 y가 늘었다거나, y가 늘어서 x가 늘었다고 결론낼 수는 없습니다. 산점도에는 두 값의 변화가 보이지만, 변화의 원인을 알려 주는 조건은 제시되어 있지 않기 때문입니다. 풀이에는 “네 점 모두 오른쪽으로 갈수록 위에 있으므로 양의 상관관계”라고 적고, 이어 “자료쌍만으로 원인과 결과는 알 수 없음”을 분리해 적어 볼 수 있습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 네 점과 경향선, 마지막 점 표시로 같은 근거를 보여도 됩니다. 중요한 것은 정답 문장을 외우는 일이 아니라 관찰한 관계와 원인에 대한 추정을 섞지 않는 것입니다.

마지막 점을 (4,11)로 바꾼 산점도에서 판단을 다시 확인합니다

비교 과제에서는 앞의 세 점 (1,12), (2,13), (3,14)는 그대로이지만 마지막 점이 (4,11)입니다. x는 3에서 4로 증가했는데 y는 14에서 11로 감소합니다. 따라서 네 점 전체가 계속 증가한다고 할 수 없고, 단조 증가는 깨집니다. 앞의 세 점만 보면 올라가는 모습이지만 마지막 점까지 표시하면 그 판단을 유지할 수 없습니다. 이 과제의 확인은 계산식을 대입하는 방식보다 자료쌍을 순서대로 비교하는 방식이 알맞습니다. 12→13→14→11이라는 y값의 흐름을 적어 보면 마지막에 감소가 있음을 바로 검토할 수 있습니다. 다음에는 기본 산점도에서 마지막 점까지 증가한다는 이유를 표시와 함께 설명하고, 함께 변한 자료만으로 원인을 확정할 수 없는 근거를 제시한 뒤, 도움 없이 바뀐 마지막 점에서도 전체 경향을 판단하는지 확인합니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.