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상무지구 고2수학과외

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평균식 하나에서 시작하는 이항분포 풀이

이항분포의 평균은 성공확률과 시행 횟수의 관계를 정확히 읽어야 구할 수 있습니다. 상무지구과외 수업에서는 계산보다 먼저 확률변수의 구조를 확인합니다.

문제와 첫 줄의 오류

확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B(n,p)\)를 따를 때, \(n=20\), \(E(X)=12\)라 하자. 성공확률 \(p\)를 구하는 문제입니다.

학생은 첫 줄에 평균을 \(n+p\)로 적었습니다. 그러나 이항분포의 평균은

\[ E(X)=np \]

입니다. 따라서 주어진 값은 \(20p=12\)로 연결해야 합니다.

성공지시변수로 확인하기

각 시행의 성공 여부를 나타내는 지시변수를 \(I_1,I_2,\dots,I_{20}\)이라 하면

\[ X=I_1+I_2+\cdots+I_{20} \]

이고, 각 지시변수의 기댓값은 \(E(I_k)=p\)입니다. 기댓값의 선형성에 따라

\[ E(X)=E(I_1)+\cdots+E(I_{20})=20p \]

가 됩니다. 독립성은 이 평균식을 얻는 데 필수 조건이 아니라, 이항분포의 구조를 설명하는 조건으로 이해할 수 있습니다.

주어진 평균에서 성공확률 역산하기

계산과 범위 확인

\[ 20p=12 \]

이므로

\[ p=\frac{12}{20}=\frac35 \]

입니다. \(\frac35\)는 \(0\le p\le1\)을 만족하므로 성공확률로 가능합니다.

교정 전후 비교

구분 판단
교정 전 \(n+p\) 시행 횟수와 확률을 더함
교정 후 \(np\) 각 시행의 평균 성공 기여를 합함

이항분포 \(B(n,p)\)에서 평균을 묻는다면 \(np\), 분산을 묻는다면 \(np(1-p)\)를 구분해야 합니다. 평균이 주어졌을 때는 \(p=\frac{E(X)}n\)으로 되돌릴 수 있으며, 반드시 확률의 범위도 확인해야 합니다.

상무지구 고2수학과외 학부모 후기

새 단원 문제집을 처음 펼쳐 보던 저녁, 아이가 문제를 읽다가 계산에서 자꾸 헷갈리는 부분을 짧게 적어 두더라고요. 길게 정리한 건 아니고, 다음 문제로 넘어가기 전에 한 문장 정도만 남겼어요. 그 표시를 확인하고 나서는 같은 페이지를 붙잡고 있지 않고 바로 이어서 풀었습니다. 상무지구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 떠올랐어요. 예예전에는 복습할 때 앞장부터 다시 펼쳐서 전체 내용을 훑는 일이 많았거든요. 그런데 새 단원 숙제를 마친 날에는 그냥 지나치지 않고 문제집 뒤쪽을 찾아봤습니다. 자주 틀리는 계산 습관만 따로 적어 둔 걸 발견했는데, 예전처럼 처음부터 전부 되짚은 게 아니라 필요한 부분을 짧게 남긴 모습이었어요.

★★★★★학부모 후기

학교 보충수업을 마치고 돌아온 날, 아이가 수열 문제를 풀어 둔 종이를 식탁에 놓고 갔더라고요. 예예전에는 복습할 때 그날 배운 부분을 처음부터 쭉 훑는 편이었는데, 그날에는 숫자 옆에 항 번호와 값을 나누어 적어 두고 두 항 사이가 어떻게 이어지는지 먼저 보고 있었습니다. 계산한 흔적보다 그 구분이 더 눈에 들어왔어요. 상무지구 수학과외 후기를 찾아보며 다른 집 이야기도 읽어 본 적은 있지만, 저희 아이에게서 이런 식의 표시를 직접 본 건 처음이었어요. 단순히 답을 적은 게 아니라 어느 항인지와 그 값이 무엇인지 따로 남겨서, 다시 볼 부분을 찾기 쉽게 해 놓았더라고요. 주말에 단어장을 펼쳐 둔 자리에서도 같은 방식으로 수열 문제를 정리한 흔적이 보였습니다. 항 번호와 값을 구분해 적어 두니 아이가 다시 살펴본 곳이 한눈에 드러났어요.

★★★★★학부모 후기

상무지구에서 수학 과외를 시작했을 때만 해도 모르는 문제는 혼자 끙끙대다 답지를 먼저 보는 편이었어요. 다만 선생님이 막힌 부분을 편하게 말할 수 있게 기다려 주시고, 늦은 날에는 숙제도 할 수 있는 만큼 나눠 주셔서 부담이 줄었습니다. 요즘은 과제가 밀려도 손을 놓지 않고 쉬운 것부터 해보게 됐어요.

★★★★★학부모 후기

예전에는 틀리는 게 싫어 공부할 양도 정하지 않은 채 책상에 앉았는데, 상무지구 수학 수업을 들으며 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 답을 바로 재촉하지 않고 생각할 시간을 주셔서, 수업을 마친 뒤에도 배운 내용을 스스로 복습하고 숙제를 마친 뒤 계획을 확인하는 습관이 생겼습니다. 수학 수업이 있는 날을 예전처럼 부담스러워하지 않는 제 모습이 신기했습니다.

★★★★★학부모 후기

오답을 따로 모아 다시 풀어보던 날, 예전처럼 한 문제에서 막혔다고 수학을 포기하고 싶지는 않았습니다. 수행평가와 시험공부가 겹친 주에도 상무지구 선생님은 제 상황을 먼저 듣고, 수업 끝에 복습할 내용만 몇 가지로 줄여 주셨습니다. 혼자 공부할 때도 어디부터 다시 볼지 알게 되어 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기