상무지구 고2수학과외







평균식 하나에서 시작하는 이항분포 풀이
이항분포의 평균은 성공확률과 시행 횟수의 관계를 정확히 읽어야 구할 수 있습니다. 상무지구과외 수업에서는 계산보다 먼저 확률변수의 구조를 확인합니다.
문제와 첫 줄의 오류
확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B(n,p)\)를 따를 때, \(n=20\), \(E(X)=12\)라 하자. 성공확률 \(p\)를 구하는 문제입니다.
학생은 첫 줄에 평균을 \(n+p\)로 적었습니다. 그러나 이항분포의 평균은
\[ E(X)=np \]
입니다. 따라서 주어진 값은 \(20p=12\)로 연결해야 합니다.
성공지시변수로 확인하기
각 시행의 성공 여부를 나타내는 지시변수를 \(I_1,I_2,\dots,I_{20}\)이라 하면
\[ X=I_1+I_2+\cdots+I_{20} \]
이고, 각 지시변수의 기댓값은 \(E(I_k)=p\)입니다. 기댓값의 선형성에 따라
\[ E(X)=E(I_1)+\cdots+E(I_{20})=20p \]
가 됩니다. 독립성은 이 평균식을 얻는 데 필수 조건이 아니라, 이항분포의 구조를 설명하는 조건으로 이해할 수 있습니다.
주어진 평균에서 성공확률 역산하기
계산과 범위 확인
\[ 20p=12 \]
이므로
\[ p=\frac{12}{20}=\frac35 \]
입니다. \(\frac35\)는 \(0\le p\le1\)을 만족하므로 성공확률로 가능합니다.
교정 전후 비교
| 구분 | 식 | 판단 |
|---|---|---|
| 교정 전 | \(n+p\) | 시행 횟수와 확률을 더함 |
| 교정 후 | \(np\) | 각 시행의 평균 성공 기여를 합함 |
이항분포 \(B(n,p)\)에서 평균을 묻는다면 \(np\), 분산을 묻는다면 \(np(1-p)\)를 구분해야 합니다. 평균이 주어졌을 때는 \(p=\frac{E(X)}n\)으로 되돌릴 수 있으며, 반드시 확률의 범위도 확인해야 합니다.