상무지구 중2수학과외

상무지구 중2수학과외에서 살펴본 가감법의 부호

상무지구과외 수업에서 학생은 연립일차방정식의 풀이 기록을 완성한 뒤, 답이 왜 맞지 않았는지 거꾸로 확인하고 있었다. 문제는 다음과 같았다.

2x+3y=13, 4x-3y=5를 가감법으로 풀어라.

학생은 두 식에서 y의 계수가 3과 -3이므로 y를 없앨 수 있다고 표시했다. 첫 번째 식의 양변을 그대로 옮겨 적고, 두 번째 식과 세로로 맞춘 뒤 x끼리, y끼리 더했다. 풀이에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

2x+3y=13
4x-3y=5
6x+0y=18

따라서 x=3이라고 적은 다음, 첫 번째 식에 3을 대입해 6+3y=13, y=7/3을 계산했다. 학생은 이 값을 답으로 적고 두 번째 식은 다시 확인하지 않았다. 그러나 풀이를 끝에서부터 읽어 보니 x=3, y=7/3은 두 번째 식에 들어갈 때 12-7=5가 되어 맞았다. 이번 문제에서는 우연히 계산이 맞았지만, 학생의 앞선 기록에는 다른 문제에서 같은 방식으로 얻은 x값만 답으로 확정한 흔적이 있었다.

답보다 먼저 확인한 한 줄

학생의 지난 풀이를 뒤에서부터 따라가자 최초의 어긋남은 마지막 계산이 아니었다. 두 식을 더하기 전에 두 번째 식의 모든 항을 그대로 유지해야 했는데, 학생은 앞선 연습에서 식을 아래로 옮겨 적으며 -3y를 +3y처럼 표시한 적이 있었다. 그 결과 y를 없애려던 더하기가 실제로는 다른 식을 만드는 분기점이 되었다. 답이 틀렸다는 결과가 아니라, 계수를 맞춘 뒤 각 항의 부호를 보존하지 않은 선택이 첫 오류였다.

교정은 한 가지로 좁혔다. 더하기 직전에 없앨 미지수의 계수를 두 식에서 먼저 확인하고, 각 항 앞의 부호를 그대로 괄호 안에 적도록 했다.

(2x+3y)+(4x-3y)=13+5

이렇게 쓰면 3y와 -3y가 서로 없어지고, 6x=18에서 x=3이 나온다. 학생은 이미 맞게 했던 계산 순서는 유지한 채, 더하기 직전의 식만 다시 적었다. 이어 첫 번째 원래 식에서 y를 구하고, 마지막에는 두 원래 식 모두에 대입했다.

가려진 풀이에서 오류 위치 찾기

다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다. 두 직선이 만나는 점의 좌표를 표의 식으로 읽도록 제시했다.

표에 나타난 두 식은 x+2y=8, 3x-2y=4이다. 가감법으로 두 식의 교점 좌표를 구하여라.

학생은 풀이 중간의 한 줄을 가린 상태에서 먼저 어느 미지수를 없앨지 말했다. y의 계수가 2와 -2이므로 두 식을 더하겠다고 했다. 그리고 가려진 줄을 보기 전, 자신이 써야 할 식을 직접 적었다.

(x+2y)+(3x-2y)=8+4

가린 줄을 열자 학생의 예전 기록에는 두 번째 식의 -2y를 +2y로 바꾼 흔적이 있었다. 학생은 그 줄에 동그라미를 치고, 부호를 바꾸지 않은 채 항을 세로로 대응시켰다. 4x=12에서 x=3을 얻은 뒤 첫 번째 식에 대입해 3+2y=8, y=5/2를 계산했다.

여기서도 한 식만 보고 멈추지 않았다. 첫 번째 식은 3+5=8, 두 번째 식은 9-5=4로 확인하여 두 식을 모두 만족하는지 표시했다. 학생은 “없앨 계수의 부호가 반대인지 먼저 보고, 더하는 동안에는 원래 부호를 유지해야 한다”고 풀이 옆에 적었다.

힌트 없이 재현한 최종 확인

수업 후 제시한 새 문제는 다음과 같았다.

5x+2y=16, 3x-2y=8의 해를 가감법으로 구하고, 두 원래 식에 대입하여 확인하여라.

학생은 도움을 기다리지 않고 “2y와 -2y를 없애려면 두 식을 더한다”고 첫 판단을 세웠다. 이어 (5x+2y)+(3x-2y)=16+8을 적어 8x=24, x=3을 구했다. 첫 번째 식에 대입해 15+2y=16이므로 y=1/2이라고 계산했다.

검산에서는 5×3+2×1/2=16, 3×3-2×1/2=8을 각각 적었다. 두 식의 좌우가 모두 같다는 근거까지 말한 뒤, 부호를 바꾸지 않고 원래 식을 더했기 때문에 y항이 정확히 소거되었다고 설명했다. 상무지구중2수학과외에서 확인한 변화는 정답 자체보다, 첫 줄에서 소거할 항과 부호를 스스로 판단하고 두 원래 식으로 검산한 과정에 있었다.