광주동천동 중3수학과외

광주동천동 중3수학과외, 넓이 조건을 식으로 옮기는 순간

광주동천동과외 수업에서 오답노트를 함께 살펴보던 중, 학생이 다음 문제에 적어 둔 풀이가 눈에 들어왔습니다.

가로가 세로보다 4m 긴 직사각형의 넓이가 96㎡이다. 세로의 길이를 구하여라.

학생은 문제에서 세로를 xm라고 표시하고, 가로를 x+4m라고 적었습니다. 여기까지는 원문의 길이 조건을 정확히 읽은 기록이었습니다. 이어서 넓이 조건도

x(x+4)=96

이라고 세웠습니다. 이 식을 전개하면 x²+4x-96=0이므로, 이차방정식의 해를 계산하는 과정도 이어졌습니다. 그런데 학생은 계산을 마친 뒤 나온 두 값 중 하나만 보고 곧바로 “세로는 8m”라고 결론 냈습니다.

계산보다 앞에 있었던 한 문장

오답의 시작은 계산식이 아니었습니다. 학생은 두 해 중 하나를 확인하지 않은 채 결론을 정했습니다. 직사각형의 세로를 나타내는 x는 길이이므로, 문제의 조건에 맞는 값인지 먼저 판단해야 합니다. 즉, 방정식의 해를 구한 뒤에는 x가 양수인지, 그리고 원문에서 세로로 정한 값인지 확인해야 했습니다.

학생의 풀이에는 실제로 두 값이 나왔지만, 음수 해에 표시가 없었습니다. 음수도 방정식에는 들어맞을 수 있지만 길이가 될 수는 없습니다. 이 판단을 생략한 것이 결과가 틀어지기 시작한 최초의 지점이었습니다.

식 옆에 조건을 먼저 남기기

교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 방식이 아니었습니다. 이미 맞았던 문자 설정과 넓이 식은 그대로 두고, 식을 세운 직후 다음 한 줄만 덧붙였습니다.

세로의 길이 x이므로 x>0, 가로는 x+4이다.

그 뒤 x²+4x-96=0에서 얻은 두 해를 각각 조건과 비교했습니다. 양의 해는 8이고 음의 해는 길이가 될 수 없으므로 제외했습니다. 따라서 세로는 8m, 가로는 12m입니다. 계산을 새로 복잡하게 만든 것이 아니라, 이미 구한 해를 문제의 조건에 맞게 선별한 것입니다.

마지막으로 넓이를 확인하면 8×12=96이므로 원문에 제시된 넓이와도 일치합니다. 이때 중요한 것은 음의 해를 단순히 “틀린 답”이라고 지우는 것이 아니라, 길이를 나타내는 문자라는 조건에 맞지 않아 제외한다고 기록하는 일이었습니다.

표현을 바꾼 새 상황에서 같은 기준 적용하기

며칠 뒤에는 식의 모양과 질문 방향을 바꾼 문제를 제시했습니다.

직사각형 모양의 안내판에서 가로는 세로의 2배보다 3cm 짧다. 넓이가 65㎠일 때, 세로의 길이를 구하여라.

이번에는 세로를 ycm로 두고, 가로를 2y-3cm로 나타내야 합니다. 학생은 먼저 그림 옆에 “세로 y>0, 가로 2y-3>0”이라고 적었습니다. 그다음 넓이 조건을

y(2y-3)=65

로 옮겼습니다. 첫 문제처럼 ‘긴 쪽은 x+4’가 아니라 배수와 차가 함께 제시된 형태였지만, 넓이는 두 변의 곱이라는 조건을 식으로 표현하고 각 길이가 가능한 값인지 살피는 기준은 그대로였습니다.

식을 정리한 뒤 나온 후보를 대입하면서 학생은 두 값을 무작정 답으로 쓰지 않았습니다. 세로 후보가 양수인지 확인하고, 그 값으로 계산한 가로 2y-3도 양수인지 다시 살폈습니다. 한 후보는 가로가 음수가 되어 제외했고, 남은 후보를 원래의 넓이 식에 대입했습니다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 질문에 나온 길이 표현과 조건의 위치가 달라진 상황에서 같은 판단을 스스로 선택한 것입니다.

힌트 없이 완성한 마지막 기록

마지막 검증 문제는 도움 없이 풀도록 했습니다.

세로가 xm인 직사각형의 가로는 세로보다 7m 짧다. 넓이가 60㎡일 때, 가능한 세로의 길이를 구하고 두 변의 길이를 확인하여라.

학생은 먼저 “세로 x>0, 가로 x-7>0”을 적고, 넓이 조건을 x(x-7)=60으로 세웠습니다. 방정식을 계산해 얻은 후보를 바로 답으로 쓰지 않고, 각각을 원래 식에 대입했습니다. 그중 하나는 가로가 음수가 되어 조건에 맞지 않았고, 남은 값은 가로와 곱했을 때 60이 되었습니다.

학생은 풀이 끝에 이렇게 설명했습니다. “넓이 식을 세우는 것만으로는 부족하고, 문자로 정한 길이가 실제 길이가 될 수 있는지 먼저 확인해야 합니다. 마지막에는 선택한 두 변의 곱이 주어진 넓이인지 대입해서 확인했습니다.”

광주동천동중3수학과외에서는 한 문제의 계산보다, 넓이 조건을 정확한 이차방정식으로 옮긴 뒤 해가 실제 길이인지 끝까지 확인하는 과정을 중점적으로 다룹니다.