LearnMap

광주동천동 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

조건부확률에서 독립을 판별하는 기준

학생의 풀이 기록에는 다음과 같은 문장이 먼저 적혀 있었다.

“조건부확률이 정의되므로 사건 A와 B는 독립이다.”

이 판단은 잘못되었다. 조건부확률이 정의된다는 것은 P(B)≠0이라는 뜻일 뿐, 독립을 보장하지 않는다. 독립은 B가 일어난 뒤에도 A의 확률이 변하지 않을 때 성립한다.

한 식에서 출발한 오류

독립의 기준은 다음과 같다.

P(A|B)=P(A)

또는 같은 뜻으로

P(A∩B)=P(A)P(B)

따라서 P(A|B)가 정의되는지 확인한 뒤, 실제 값이 P(A)와 같은지 비교해야 한다.

트리 자료로 확인하기

어떤 실험에서 P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A|B)=0.4라고 하자. B가 일어난 뒤에도 A의 확률이 0.4로 변하지 않았으므로 A와 B는 독립이다.

실제로

P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0.5×0.4=0.2

이고,

P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2

이므로 두 값이 일치한다.

반대로 P(A|B)=0.7이라면 조건 B가 A의 확률을 변화시킨 것이므로 독립이 아니다.

한 단계만 교정하는 풀이

교정 전후 비교

교정 전: P(B)≠0이므로 P(A|B)가 정의된다. 따라서 A와 B는 독립이다.

교정 후: 먼저 P(A|B)와 P(A)를 비교한다. 두 값이 같으면 독립이고, 다르면 독립이 아니다.

이번 교정에서는 계산 전체를 바꾸지 않고, ‘정의 가능’과 ‘독립’을 같은 의미로 해석한 한 문장만 수정했다. 이런 방식은 학생이 자신의 풀이에서 오류가 발생한 지점을 분명히 찾게 한다.

새 문제에 적용하기

주사위를 한 번 던져 A를 “짝수가 나오는 사건”, B를 “3의 배수가 나오는 사건”이라고 하자.

P(A)=3/6=1/2, P(B)=2/6=1/3이다. 두 사건의 교집합은 6이 나오는 경우이므로 P(A∩B)=1/6이다.

한편 P(A)P(B)=1/2×1/3=1/6이므로

P(A∩B)=P(A)P(B)

가 성립한다. 따라서 A와 B는 독립이다.

판단을 남기는 최종 확인

독립 여부를 확인할 때는 다음 순서를 따른다.

  1. 조건부확률이 정의되는지 확인한다.
  2. P(A|B)와 P(A)를 비교한다.
  3. 필요하면 P(A∩B)와 P(A)P(B)를 계산해 검산한다.

이 과정을 반복하면 광주동천동과외 수업에서도 조건부확률의 존재와 독립의 성립을 구분하여 판단하는 습관을 기를 수 있다.

광주동천동 고2수학과외 학부모 후기

프린트를 챙기던 저녁, 아이가 풀이를 한 장씩 넘기며 답은 맞았는데 계산 과정을 끝까지 확인하지 않은 문제만 따로 접어 두더라고요. 맞은 문제라 그냥 지나칠 줄 알았는데, 그 부분은 다시 볼 곳으로 분류해 두는 모습이 조금 새롭게 보이더라고요. 광주동천동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 있었는데, 예전에는 확인이 필요한 문제가 생겨도 그날 정리하지 않고 그대로 문제집 사이에 끼워 두곤 했거든요. 이번에는 답이 맞았는지와 검산을 했는지를 따로 보면서 손이 멈췄습니다. 수학 발표를 준비하는 날에는 더 분명했어요. 검산할 문제에는 표시를 하고, 이미 확인한 부분과 아직 남은 부분은 서로 다르게 구분해 두었습니다. 프린트 한쪽에 남은 표시가 섞이지 않고 나뉘어 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

수학 노트를 정리하다가 원래 시험지를 펼쳐 둔 걸 보게 됐어요. 틀린 문제를 유형별로 따로 옮겨 적은 게 아니라, 각 문제 옆에 왜 틀렸는지만 짧게 남겨 두었더라고요. 아직 해결하지 못한 부분에는 표시도 해두고요. 전에는 다시 볼 때 어디부터 손대야 할지 정하지 못한 채 답지만 뒤적이는 일이 많았거든요. 저녁을 먹고 방에 잠깐 들어갔을 때도 그 시험지가 책상 위에 있었습니다. 문제를 새로 풀고 있는 줄 알았는데, 아이가 적어 둔 이유를 따라가며 다시 확인하고 있더라고요. 광주동천동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 식으로 본인이 남긴 흔적이 눈에 들어오니 예전과는 순서가 달라졌다는 생각이 들었습니다. 예전에는 틀린 문제를 한곳에 모아야 다시 보기 편하다고만 생각했는데, 이번에는 원본에서 틀린 까닭을 바로 찾아볼 수 있게 해두었어요. 마지막까지 해결되지 않은 문제는 지우지 않고 표시한 채 남겨 둔 모습도 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

문제집 한 권을 끝낸 날인데도 아이가 바로 책을 치우지 않고 한 문제를 다시 읽고 있더라고요. 숫자부터 살피는 줄 알았는데, 계산에 들어가기 전에 조건이 적힌 문장에 연필로 먼저 표시를 하더라고요. 그 장면이 꽤 낯설어서 옆에서 잠깐 지켜보게 됐어요. 예전에는 복습할 때 이미 아는 부분과 다시 봐야 할 부분을 구분하지 않고 처음부터 끝까지 훑는 편이었거든요. 이번에는 필요한 내용을 따로 가려내려는 듯한 모습이 보였어요. 광주동천동 수학과외 관련해 이런저런 이야기를 나누던 때보다, 집에서 실제로 문제를 읽는 순서가 달라진 게 더 잘 느껴졌습니다. 학교에서 새 수학 숙제를 가져온 날에도 비슷한 장면이 눈에 들어왔어요. 숫자를 곧바로 따라가지 않고 조건이 담긴 문장부터 다시 확인한 뒤, 살펴본 부분만 남겨 두고 나머지 자료는 한쪽으로 정리해 놓더라고요. 이번에는 문제의 수치보다 문장에 먼저 손이 갔어요.

★★★★★학부모 후기

광주동천동에서 수학 과외를 시작했을 때는 질문을 잘 못 하고 숙제를 끝내는 데만 신경 썼습니다. 수업 중 틀린 문제를 공책에 다시 정리하며 선생님께 풀이를 설명해 보니 대화가 한결 편해졌고, 학교 과제와 시험 일정에 맞춰 수업량도 무리 없이 조절해 주셨습니다. 이제는 맞힌 문제도 왜 맞았는지 말해 보고, 어려운 문제를 만나도 바로 피하지 않게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

광주동천동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 수업 중에는 알겠는데 집에서 혼자 풀려 하면 막힌다고 자주 말하던 모습이 조금씩 달라졌습니다. 학교 행사로 공부 시간이 부족했던 날에도 선생님은 그날 꼭 복습할 내용과 다음에 볼 부분을 나눠 부담을 줄여 주셨고, 질문에도 편하게 답해 주셨습니다. 요즘은 한 문제에서 막혀도 수학을 아예 포기하지 않고 정해 둔 복습 시간을 지키려는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★☆학부모 후기

광주동천동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 늦은 시간까지 과제가 남아도 아이가 예전처럼 풀이를 덮어두지 않고 선생님께 먼저 질문하려는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 설명을 서두르기보다 이해한 부분을 확인하고, 숙제와 복습도 생활에 맞춰 해낼 수 있는 양으로 나눠 주셨습니다. 시험기간에 계획이 밀린 날에도 할 수 있는 것부터 다시 시작하게 도와주셔서 공부를 대하는 마음이 한결 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기