광주동천동 고2수학과외







조건부확률에서 독립을 판별하는 기준
학생의 풀이 기록에는 다음과 같은 문장이 먼저 적혀 있었다.
“조건부확률이 정의되므로 사건 A와 B는 독립이다.”
이 판단은 잘못되었다. 조건부확률이 정의된다는 것은 P(B)≠0이라는 뜻일 뿐, 독립을 보장하지 않는다. 독립은 B가 일어난 뒤에도 A의 확률이 변하지 않을 때 성립한다.
한 식에서 출발한 오류
독립의 기준은 다음과 같다.
P(A|B)=P(A)
또는 같은 뜻으로
P(A∩B)=P(A)P(B)
따라서 P(A|B)가 정의되는지 확인한 뒤, 실제 값이 P(A)와 같은지 비교해야 한다.
트리 자료로 확인하기
어떤 실험에서 P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A|B)=0.4라고 하자. B가 일어난 뒤에도 A의 확률이 0.4로 변하지 않았으므로 A와 B는 독립이다.
실제로
P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0.5×0.4=0.2
이고,
P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2
이므로 두 값이 일치한다.
반대로 P(A|B)=0.7이라면 조건 B가 A의 확률을 변화시킨 것이므로 독립이 아니다.
한 단계만 교정하는 풀이
교정 전후 비교
교정 전: P(B)≠0이므로 P(A|B)가 정의된다. 따라서 A와 B는 독립이다.
교정 후: 먼저 P(A|B)와 P(A)를 비교한다. 두 값이 같으면 독립이고, 다르면 독립이 아니다.
이번 교정에서는 계산 전체를 바꾸지 않고, ‘정의 가능’과 ‘독립’을 같은 의미로 해석한 한 문장만 수정했다. 이런 방식은 학생이 자신의 풀이에서 오류가 발생한 지점을 분명히 찾게 한다.
새 문제에 적용하기
주사위를 한 번 던져 A를 “짝수가 나오는 사건”, B를 “3의 배수가 나오는 사건”이라고 하자.
P(A)=3/6=1/2, P(B)=2/6=1/3이다. 두 사건의 교집합은 6이 나오는 경우이므로 P(A∩B)=1/6이다.
한편 P(A)P(B)=1/2×1/3=1/6이므로
P(A∩B)=P(A)P(B)
가 성립한다. 따라서 A와 B는 독립이다.
판단을 남기는 최종 확인
독립 여부를 확인할 때는 다음 순서를 따른다.
- 조건부확률이 정의되는지 확인한다.
- P(A|B)와 P(A)를 비교한다.
- 필요하면 P(A∩B)와 P(A)P(B)를 계산해 검산한다.
이 과정을 반복하면 광주동천동과외 수업에서도 조건부확률의 존재와 독립의 성립을 구분하여 판단하는 습관을 기를 수 있다.