광주동천동 고1수학과외
광주동천동고1수학과외: 행렬의 뺄셈에서 대응 위치를 놓친 사례
동천마을 1단지 인근에서 진행한 한 학습에서 학생은 행렬의 뺄셈을 계산하며 각 성분의 위치를 표시하지 않았다. 그 결과 같은 성분을 두 번 계산하고, 다른 성분 하나를 빠뜨린 채 답을 완성했다.
중복 계산이 생긴 지점
예를 들어
A=\begin{pmatrix}4&-2\\1&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&5\\-2&2\end{pmatrix}
일 때 행렬의 뺄셈은 같은 행과 열에 있는 성분끼리 계산해야 한다.
A-B=\begin{pmatrix}4-1&-2-5\\1-(-2)&3-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-7\\3&1\end{pmatrix}
학생은 계산 과정에서 위쪽 오른쪽 성분과 아래쪽 왼쪽 성분을 구분하지 않아, 부호를 바꾸는 과정에서 한 항을 반복해서 사용했다. 이 오류는 뺄셈 자체보다 행과 열의 대응 위치를 생략한 데서 발생했다.
마지막 행으로 대응 위치를 점검하다
교정할 때는 모든 계산을 다시 설명하기보다 마지막 행만 따로 읽게 했다. 두 번째 행의 첫 성분은 A의 두 번째 행 첫 성분인 1에서 B의 두 번째 행 첫 성분인 -2를 빼야 하므로 3이고, 두 번째 성분은 3-2이므로 1이다. 이처럼 계산 직전에 행과 열의 위치를 말로 확인하자 중복된 성분이 사라졌다.
표현이 바뀐 문제에 적용
다음에는 행렬을 바로 제시하지 않고 각 성분을 문장으로 나타낸 문제를 풀게 했다. “첫째 행 둘째 열의 성분은 -2와 5의 차”라는 표현을 행렬의 해당 위치로 옮긴 뒤, 결과 행렬의 같은 위치에 기록했다. 숫자만 바뀐 문제가 아니라 성분의 위치를 문장에서 식으로 변환해야 했지만, 학생은 각 성분의 대응을 유지해 계산했다.
새 행렬에서 독립 확인
마지막으로
C=\begin{pmatrix}-3&4\\0&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2&-4\\5&3\end{pmatrix}
에 대해 C-D를 구하게 했다. 학생의 답은
\begin{pmatrix}-5&8\\-5&-4\end{pmatrix}
였으며, 각 성분의 부호와 행·열 위치를 따로 표시하지 않고도 네 성분이 모두 한 번씩 사용되었는지 확인했다. 행렬의 뺄셈에서는 계산 속도보다 대응 성분을 빠뜨리거나 중복하지 않는 것이 우선이라는 점을 스스로 정리했다.