광주동천동 중1수학과외
분수 일차방정식에서 첫 식을 세우는 순간
광주동천동과외 수업에서 학생은 대자중학교가 포함된 생활권의 교과서 변형 문제를 풀었다. 동천마을 1단지와 이야기꽃도서관 인근 생활권에서 접할 수 있는 생활 문장을 수학식으로 바꾸는 유형이었지만, 핵심은 문장보다 분수 일차방정식의 분모를 어떻게 처리하고 등식의 조건을 어떻게 확인하는가에 있었다.
답보다 먼저 확인했어야 할 것
문제에는 어떤 수를 구하라는 문장과 함께 다음과 같은 식이 제시되어 있었다.
어떤 수를 x라 할 때, x에서 3을 뺀 수의 2분의 1이 그 수의 3분의 1보다 2만큼 크다. 이때 x를 구하여라.
학생은 곧바로 노트에 x - 3 ÷ 2 = x ÷ 3 + 2라고 적었다. 이어서 양변에 6을 곱하려 했지만, 괄호 없이 적은 식의 뜻이 문제의 문장과 달라져 있었다. ‘x에서 3을 뺀 수 전체’를 2로 나누어야 하는데, 학생은 x만 나누는 식으로 받아들인 것이다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 실수가 아니라 미지수와 등식의 의미를 확인하기 전에 분모부터 없애려 한 것이었다. 또 문제에서 말하는 ‘어떤 수’를 x로 정했다는 표시도 적지 않아, 식의 각 부분이 무엇을 나타내는지 추적하기 어려웠다.
문장의 조건을 식의 모양으로 옮기기
계산은 잠시 멈추고 문장의 대상을 다시 나누어 적었다.
- 어떤 수: x
- x에서 3을 뺀 수: x-3
- 그 수의 2분의 1: (x-3)/2
- 어떤 수의 3분의 1보다 2만큼 크다: (x-3)/2 = x/3 + 2
이제 분모 2와 3을 한꺼번에 없애기 위해 양변에 6을 곱했다.
6×(x-3)/2 = 6×(x/3+2)
3(x-3)=2x+12
3x-9=2x+12
x=21
학생은 분모를 없앤 뒤에도 원래 문장의 ‘x-3’ 전체가 유지되는지 괄호를 보며 한 줄씩 확인했다. 이미 맞게 진행한 분배와 동류항 정리는 그대로 두고, 처음의 식만 올바르게 고친 것이 교정의 중심이었다.
식을 문장으로 바꾸어 다시 확인하다
같은 개념을 다른 모습으로 적용하기 위해 이번에는 식을 보고 문장을 만드는 활동을 했다.
(y+4)/3 = y/2 - 1
학생은 이를 “어떤 수에 4를 더한 수의 3분의 1은, 그 수의 2분의 1에서 1을 뺀 것과 같다”라고 읽었다. 이번에는 y+4에 괄호를 표시하고, y를 나타내는 말이 양쪽에 같은 뜻으로 쓰였는지 확인했다.
양변에 6을 곱해
2(y+4)=3y-6
2y+8=3y-6
y=14
를 얻었다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 앞에서는 문장을 식으로 옮겼다면 이번에는 식을 문장으로 되돌린 뒤 다시 분모를 처리한 것이다. 학생은 “왼쪽은 y+4 전체를 3으로 나눈 값이므로 6을 곱하면 2(y+4)가 된다”고 풀이 이유를 직접 말할 수 있었다.
힌트 없이 조건과 검산을 연결한 장면
수업 후반에는 다음 문제를 별도의 표시 없이 풀게 했다.
어떤 수의 4분의 3에서 2를 뺀 값은, 그 수에서 6을 뺀 값의 2분의 1과 같다. 어떤 수를 구하여라.
학생은 먼저 “어떤 수를 x라 하자”라고 쓰고, 조건을
3x/4 - 2 = (x-6)/2
로 옮겼다. 양변에 4를 곱해
3x-8=2(x-6)
3x-8=2x-12
x=-4
를 구했다. 음수가 나왔다는 이유만으로 버리지 않고, 원래 등식에 대입했다.
왼쪽은 3×(-4)/4-2=-3-2=-5, 오른쪽은 (-4-6)/2=-10/2=-5이므로 양변이 같다고 확인했다. 학생은 “분모를 없애기 전에 등식의 양쪽이 무엇을 뜻하는지 정했고, 구한 값은 원래 식에 넣어 조건을 만족하는지 확인했다”고 설명했다.
이처럼 광주동천동중1수학과외에서는 정답만 적는 대신, 첫 판단에서 미지수의 뜻과 괄호를 세우고, 분모를 처리한 뒤 원래 조건으로 되돌아가는 과정을 한 사건 안에서 반복해 점검한다.