광주동천동 중2수학과외

계산보다 먼저 정해야 했던 한 줄

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어떤 식을 먼저 계산할지가 아니라, 어느 미지수를 없앨지부터 정해야 해요.

학생의 풀이에서 거꾸로 찾은 첫 판단

문제에는 다음과 같은 두 식이 제시되어 있었다.

2x＋3y＝13
4x－3y＝5

학생은 두 식의 x와 y에 동그라미를 치고, 오른쪽 상수 13과 5에도 밑줄을 그었다. 그러나 두 번째 식의 4x를 2x로 바꾸면서 그 식의 모든 항을 2로 나누지는 않았다. 이어서 첫 번째 식과 수정한 두 번째 식을 바로 더하려고 했다. 계산 결과가 맞지 않기 시작한 뒤에야 공책 아래쪽에 “계수를 먼저 맞춰야 하나?”라고 적었다.

오류가 난 계산식 자체보다 먼저 어긋난 부분은 없앨 미지수를 고르지 않은 채 한 식의 계수만 바꾸기로 결정한 것이었다. 두 식을 더할지 뺄지는 식의 모양을 보고 임의로 고르는 일이 아니라, 같은 미지수의 계수를 서로 반대수 또는 같은 수로 만들었는지 확인한 뒤 결정해야 한다.

바꾼 것은 한 가지뿐이었다

학생이 이미 한 표시와 식을 읽는 순서는 그대로 두고, 계산 직전의 기준만 다시 세웠다. 먼저 y에 표시한 뒤 두 식에서 y의 계수가 3과 －3으로 서로 반대라는 점을 확인하게 했다. 따라서 두 식을 더하면 y가 사라진다.

(2x＋3y)＋(4x－3y)＝13＋5

6x＝18이므로 x＝3이다. 학생은 이 값을 첫 번째 식에 대입해 2×3＋3y＝13, 3y＝7, y＝7/3을 얻었다. 여기서 멈추지 않고 두 번째 식에도 대입했다.

4×3－3×7/3＝12－7＝5

오른쪽 값과 같으므로 두 원래 식을 모두 만족한다는 것을 표시했다. 중요한 변화는 새로운 풀이법을 추가한 것이 아니라, 계수를 비교해 제거할 미지수를 먼저 고르는 한 줄이었다.

식이 아닌 표로 바뀐 문제

같은 판단을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않기 위해, 이번에는 두 상품의 수량을 표로 제시했다. 상품 A와 B의 수량을 각각 x, y라 할 때 두 묶음의 관계가 다음처럼 주어졌다.

• 첫 번째 묶음: A 3개, B 2개, 합계 16
• 두 번째 묶음: A 6개, B －2개로 정리되는 식, 합계 8

학생은 표의 행을 식으로 옮겨 3x＋2y＝16, 6x－2y＝8이라고 적었다. 이번에는 식을 쓰자마자 y 열의 계수 2와 －2를 세로로 연결했다. “부호가 반대이고 크기가 같으니 더하면 y가 없어져요.”라고 말한 뒤 두 식을 더해 9x＝24, x＝8/3을 구했다. 이어 첫 식에 넣어 8＋2y＝16, y＝4를 얻었다. 표의 첫 번째 행에 다시 x＝8/3, y＝4를 대입해 8＋8＝16을 확인하고, 두 번째 행에서도 16－8＝8인지 검산했다.

순서가 바뀌어도 기준을 설명하다

수업 끝 무렵에는 식의 순서를 바꾼 형태를 제시했다.

5x＋2y＝19
－5x＋7y＝16

학생은 아래 식이 먼저 나온 것을 보고도 당황하지 않았다. x의 계수가 5와 －5이므로 두 식을 더한다고 말하고, 양변을 함께 더했다.

9y＝35, 따라서 y＝35/9이다. 첫 식에 대입하면 5x＋70/9＝19이고, 5x＝101/9, x＝101/45가 된다. 학생은 분수가 나와서 계산을 중단하지 않고 두 원래 식에 각각 대입했다. 첫 식은 101/9＋70/9＝19, 두 번째 식은 －101/9＋245/9＝16으로 정리되어 두 식 모두 성립한다고 설명했다.

광주동천동과 가까운 생활권에서 이루어진 이 장면에서 학생이 마지막으로 남긴 메모는 짧았다.

① 없앨 미지수 표시 ② 계수와 부호 확인 ③ 더하기 또는 빼기 ④ 두 원래 식에 검산

광주동천동중2수학과외가 아니라 정확한 표현인 광주동천동과외와 광주동천동중2수학과외를 찾는 과정에서도, 중요한 것은 문제 수가 아니라 새 식의 순서와 표현이 달라졌을 때 같은 첫 판단을 혼자 세우는지 확인하는 일이다. 학생은 마지막 문제에서 도움을 기다리지 않고 x를 없앨지 y를 없앨지 비교한 뒤, 가감 전후의 두 식이 동치인지와 원래 두 식을 만족하는지 스스로 설명했다.