첨단지구 중3수학과외

첨단지구 중3수학과외, 조건에 맞는 해만 남기는 풀이

이번에는 문제의 조건에 맞지 않는 해를 제외하고, 다른 표현으로 바뀐 관계를 다시 식으로 옮기는 것에만 초점을 맞췄습니다.

주말 복습지에 남은 두 줄의 풀이

첫 문제는 다음과 같았습니다.

두 수의 합은 11이고 곱은 24이다. 큰 수를 x라 할 때, 두 수의 차가 5보다 큰 경우 큰 수를 구하여라.

학생은 먼저 두 수를 x, 11-x로 나타내고 곱을 이용해

x(11-x)=24

라고 적었습니다. 그런데 바로 다음 줄에 식을

x²-11x+24=0 → (x-3)(x-8)=0 → x=3 또는 8

로 정리한 뒤, “큰 수이므로 8”이라고 결론 내렸습니다. 계산 자체는 맞았지만, 처음 문장에서 주어진 조건인 두 수의 차가 5보다 크다를 해마다 확인하지 않았습니다. 두 해가 나왔을 때 어느 하나를 고르는 기준을 ‘큰 수’라는 표현 하나로만 처리한 것입니다.

실제로 x=3이면 다른 수는 8이므로 x가 큰 수라는 조건부터 맞지 않습니다. x=8이면 다른 수는 3이고, 차는 8-3=5라서 ‘5보다 크다’에도 맞지 않습니다. 따라서 이 문제는 조건에 맞는 해가 없습니다. 학생은 답이 반드시 하나 나온다고 생각해 8을 남겼지만, 원문 조건을 대입하면 부적절한 값입니다.

바꾼 것은 계산이 아니라 해를 남기는 기준

풀이를 전부 다시 쓰게 하지 않고, 처음 세운 식과 인수분해는 그대로 유지했습니다. 단 한 줄만 다음처럼 덧붙였습니다.

x=3일 때 두 수는 3과 8, x가 큰 수가 아님.
x=8일 때 두 수는 8과 3, 차가 5로서 5보다 크지 않음.

즉, 해를 구한 뒤에 숫자의 크기나 부호를 감으로 판단하지 않고, 원문에서 해를 결정하는 계수·부호·조건을 식으로 다시 확인하는 행동을 넣었습니다. 이 문제의 결론은 ‘8’이 아니라 ‘조건을 만족하는 해가 없다’입니다. 이미 맞았던 전개를 버리지 않고, 해를 선택하기 직전의 조건 확인만 바로잡은 것입니다.

표현이 달라진 문제에서 관계를 다시 세우기

다음에는 이전 문제와 배열이 다른 문제를 제시했습니다.

어떤 수 x와 그 수보다 4 큰 수의 곱이 21이다. 단, x는 양수일 때 x의 값을 구하여라.

학생은 “두 수의 곱이 21”이라는 관계만 보고 처음부터 x와 21을 짝지어 x=21이라고 적으려 했습니다. 하지만 여기서는 한 수가 x이고 다른 수가 x+4라고 문장에 제시되어 있습니다. 따라서 관계를 그대로 식으로 옮기면

x(x+4)=21

이고, 이를 정리하면

x²+4x-21=0 → (x+7)(x-3)=0

이므로 x=-7 또는 x=3입니다. 질문의 조건이 x>0이므로 -7은 제외되고, 3만 남습니다. 이전 문제처럼 ‘두 수의 합’이 먼저 나오지 않았고, 조건도 문장 뒤에 붙었지만, 해를 결정하는 식과 원문 조건을 각각 확인해야 했습니다. 음수 해를 계산 실수로 지우는 것이 아니라, x가 양수라는 조건 때문에 제외한다고 설명하는 것이 핵심입니다.

힌트 없이 진행한 마지막 확인

며칠 뒤에는 다음 문제를 풀이 기록만 보고 스스로 검증하게 했습니다.

두 수의 차는 2이고 곱은 15이다. 작은 수를 x라 할 때, 두 수의 합이 8보다 큰 경우 x를 구하여라.

학생은 작은 수를 x, 큰 수를 x+2로 두어

x(x+2)=15 → x²+2x-15=0 → (x+5)(x-3)=0

을 만들었습니다. 해는 x=-5, 3입니다. 이어서 각각을 원문에 대입했습니다. x=-5이면 두 수는 -5와 -3이고 합은 -8로 조건에 맞지 않습니다. x=3이면 두 수는 3과 5이고 합은 8이므로 ‘8보다 큰 경우’에 맞지 않습니다.

학생은 이번에는 억지로 하나를 고르지 않고 “두 해 모두 조건을 만족하지 않으므로 해가 없다”고 적었습니다. 또한 곱을 확인해 (-5)×(-3)=15, 3×5=15가 되어 방정식 자체에는 맞지만, 원문 조건에서 제외된다는 근거까지 설명했습니다. 첨단지구중3수학과외에서 확인할 부분도 바로 이 장면입니다. 다른 표현으로 바뀐 관계를 먼저 식으로 세우고, 계산 뒤에는 처음 문장의 조건에 값을 대입해 남길 해를 결정하는 것입니다.