첨단지구 중2수학과외

식의 모양이 달라져도 대입법의 연결을 놓치지 않도록

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식보다 먼저 확인해야 했던 것

학생이 받은 문제는 다음과 같았다.

두 수의 합은 11이고, 큰 수에서 작은 수의 2배를 뺀 값은 1이다. 두 수를 구하여라.

학생은 두 수를 각각 x, y로 적고 첫 조건에서 x+y=11을 만들었다. 이어 두 번째 조건을 x-2y=1로 옮긴 뒤, 첫 식을 보고 곧바로 x=11+y라고 정리했다. 그다음 이 식을 두 번째 식에 대입하면서 계산을 이어 갔지만, 중간에 부호가 복잡해지자 두 번째 식을 다시 첫 번째 식에 넣는 방식으로 바꾸었다. 계산 결과를 얻은 뒤 두 원래 식에 넣어 보려던 순간, 자신이 대입한 식에 x가 아니라 y가 남아 있다는 것을 발견했다.

결과값 자체보다 먼저 어긋난 판단은 어느 미지수를 없앨지 정하지 않은 채, 눈에 먼저 들어온 식을 대입식으로 바꾼 것이었다. x를 없애려면 첫 식을 x에 관해 정리한 뒤 두 번째 식에 넣어야 하는데, 학생은 정리한 식의 남은 문자를 확인하지 않고 대입 방향을 바꾸었다.

대입할 문자를 한 줄로 고정하기

교정은 계산법을 새로 추가하는 방식이 아니었다. 학생이 이미 만든 두 식은 그대로 두고, 식 옆에 작은 표시만 붙였다.

• 첫 식: x+y=11 → x=11-y
• 둘째 식: x-2y=1
• 대입 표시: x 자리에 11-y를 넣기

학생은 둘째 식에서 x를 괄호로 표시한 뒤 (11-y)-2y=1이라고 다시 썼다. 이어 11-3y=1, y=10/3을 얻고 첫 식에 넣어 x=23/3을 구했다. 마지막에는 23/3+10/3=11, 23/3-20/3=1을 각각 계산했다. 이 과정에서 중요한 것은 식을 정리하는 순서가 아니라, 정리한 식에서 사라질 문자를 대입한다는 관계를 한 줄로 유지한 점이었다.

표현을 바꾼 문제에서 관계를 복원하다

같은 시간에 숫자만 바꾼 문제 대신 표현을 바꾼 문항을 제시했다.

문구점에서 공책 2권과 펜 3개의 가격은 8,100원이고, 공책 1권과 펜 2개의 가격은 5,000원이다. 공책 한 권과 펜 한 자루의 가격을 각각 구하여라.

이번에는 식이 바로 주어지지 않았다. 학생은 공책 가격을 x원, 펜 가격을 y원으로 정한 다음 문장 속 수량을 표시하며 2x+3y=8100, x+2y=5000을 세웠다. 첫 문제와 달리 두 식 모두 x가 간단히 정리되지 않자 학생은 잠시 계산을 보류하고, 두 번째 식에서 x=5000-2y를 만들었다. 이어 첫 번째 식의 x 자리에 그 표현을 넣어 2(5000-2y)+3y=8100으로 연결했다.

이 장면에서 학생은 식의 순서나 문장의 위치를 기억하지 않고, “둘째 조건에서 만든 x의 값이 첫째 조건의 x와 같은 가격을 가리킨다”라고 설명했다. 식을 문장으로 되돌려 읽은 뒤 계산 결과를 두 가격식에 각각 대입해 합계가 8,100원과 5,000원이 되는지도 확인했다.

힌트 없이 세운 첫 판단

수업 끝에는 다음과 같은 새로운 형태를 제시했다.

어떤 두 수의 차는 4이고, 작은 수의 3배와 큰 수의 합은 20이다. 두 수를 구하는 과정을 식으로 나타내어라.

학생은 도움을 기다리지 않고 큰 수를 x, 작은 수를 y로 정했다. “차가 4”라는 문장을 x-y=4, 두 번째 조건을 x+3y=20으로 적었다. 그리고 첫 식에서 x=y+4를 만든 뒤, x가 있는 둘째 식에 대입해야 한다고 바로 말했다. (y+4)+3y=20에서 y=4, x=8을 구한 후, 차가 4인지와 8+3×4=20인지 차례로 검산했다.

학생은 “처음 식에서 정리한 문자가 x이므로, 다른 식의 x 자리에 같은 값을 넣었다. 두 원래 조건을 모두 만족하는지 확인했으니 대입 방향도 맞다”고 설명했다. 첨단지구중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실이 아니라, 식의 배열과 문장 표현이 바뀌어도 첫 판단과 검산 근거를 스스로 세운 장면이었다.