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일곡동 고2수학과외

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이항계수의 합을 부분집합으로 다시 확인하기

“전체 계수의 합이 왜 \(n!\)이 아니죠?” 학생은 \(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}\)을 계산한 뒤, 각 항을 곱셈처럼 처리해 잘못된 값을 얻었다. 일곡동과외 수업에서는 이 오류를 계산법이 아니라 계수가 세는 대상부터 되짚었다.

하나의 식에서 출발한 검산

이항정리에서

\[ (1+x)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}x^r \]

이다. 여기에 \(x=1\)을 대입하면

\[ (1+1)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \]

따라서 전체 이항계수의 합은

\[ \boxed{\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}=2^n} \]

이다. \(n!\)은 \(n\)개 대상을 모두 배열하는 경우의 수이고, \(\binom{n}{r}\)은 \(n\)개 중 \(r\)개를 고르는 경우의 수이므로 서로 세는 대상이 다르다.

부분집합과 짝수·홀수 계수

\(\binom{n}{r}\)은 \(n\)개 원소를 가진 집합에서 원소를 \(r\)개 선택하는 방법의 수다. \(r=0,1,\ldots,n\)을 모두 합치면 모든 부분집합을 한 번씩 세게 된다. 각 원소마다 선택하거나 선택하지 않는 두 가지 경우가 있으므로 전체 부분집합 수는 \(2^n\)이다.

짝수 번째 계수와 홀수 번째 계수를 나누려면 \(x=-1\)을 대입한다.

\[ (1-1)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}(-1)^r=0 \qquad(n\ge1) \]

짝수 계수의 합을 \(E\), 홀수 계수의 합을 \(O\)라 하면

\[ E+O=2^n,\qquad E-O=0 \]

이므로

\[ \boxed{E=O=2^{n-1}}\qquad(n\ge1) \]

새 문제로 최종 확인

예를 들어 \(n=4\)이면 계수는

\[ 1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1 \]

전체 합은 \(1+4+6+4+1=16=2^4\)이고, 짝수 위치 계수의 합은 \(1+6+1=8\), 홀수 위치 계수의 합은 \(4+4=8\)이다.

따라서 계수합을 \(n!\)로 계산한 풀이는 폐기해야 하며, \((1+1)^n\) 또는 부분집합의 개수로 검산하는 것이 정확하다. 광주숭일고등학교와 살레시오고등학교 학생도 같은 유형에서 먼저 ‘무엇을 세는가’를 확인하면 계산 오류를 줄일 수 있다.

일곡동 고2수학과외 학부모 후기

단원평가를 앞둔 밤, 아이가 함수 문제집을 펼쳐 놓고 식 옆에 그래프를 직접 다시 그리고 있더라고요. 한 번 그린 그림을 그대로 넘기지 않고, 식에 나온 조건과 그래프 모양이 맞는지 번갈아 살펴보는 모습이 눈에 띄었어요. 예예전에는 정해진 순서대로 문제를 반복해서 풀 뿐, 무엇을 다시 확인할지는 따로 좁히지 않았거든요. 중간고사 일주일 전에도 책상 앞에서 같은 장면을 봤습니다. 그래프를 새로 그린 뒤 식과 나란히 놓고 서로 같은 조건을 나타내는지 비교하고 있더라고요. 일곡동 수학과외라는 지역 정보를 찾아보던 때와는 별개로, 집에서 보이는 풀이 장면이 이렇게 달라진 건 처음이라 잠깐 지켜봤습니다. 마지막에는 헷갈린 부분에 질문할 흔적을 남겨 둔 채 책을 정리했어요.

★★★★★학부모 후기

수학시험이 끝난 다음 날 저녁, 아이가 공부를 마친 노트를 우연히 펼쳐 보게 됐어요. 문제를 다시 풀어놓은 건 아니고, 한쪽에 ‘여기서부터 다시’라는 표시와 계산 한 줄만 적혀 있더라고요. 전에는 끝난 부분을 따로 표시해 둔 적이 없어서 조금 새롭게 보이더라고요. 일곡동 수학과외를 알아보던 때부터 노트를 가끔 봤지만, 이런 식으로 남겨 둔 건 처음이었어요. 예전에는 공부가 끝나면 그대로 덮었는데, 이번에는 문제 전체를 옮기지 않고 다시 확인할 한 줄과 그 이유만 간단히 적어 두었어요. 길게 정리한 흔적보다 어디를 봐야 하는지가 먼저 눈에 띄었습니다. 다음 수학 수업을 준비하던 날에도 같은 방식으로 노트를 정리해 두었어요. 다시 볼 계산 한 줄 옆에 이유를 남겨 놓고, 그 표시를 확인한 뒤 교재를 덮어 두었더라고요. calc

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 절반쯤 공부한 뒤에도 숙제를 미루던 아이가 일곡동 수학과외에서는 쉬운 문제부터 차분히 다시 풀기 시작했습니다. 선생님은 중간중간 자연스럽게 질문을 이끌고, 스스로 이어서 생각할 시간도 충분히 주셨습니다. 시험기간에도 공부 흐름을 크게 놓치지 않는 모습이 보여 부모로서 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

일곡동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 평일 귀가 후 책상에 앉는 모습이 한결 편안해졌습니다. 예전에는 막히면 금방 지쳤지만, 이제는 수업 전에 물어볼 문제를 골라 두고 풀이 과정을 먼저 설명하려고 합니다. 선생님도 부담 없는 속도로 숙제와 복습을 챙겨 주셔서 시험기간에는 할 일을 직접 확인하는 날이 많아졌습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 숙제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 예전처럼 틀린 문제를 표시만 해두지 않고, 수업을 마친 뒤 다시 펼쳐보는 모습이 눈에 띄었습니다. 일곡동에서 수업을 시작한 뒤 선생님은 시험 기간에도 어려운 부분을 무리하게 진도 나가지 않고 아이가 이해할 때까지 차분히 설명해 주셨습니다. 완벽하게 하려는 성향을 배려하며 부담 없이 복습하는 습관을 만들어 주신 점이 특히 고맙습니다.

★★★★★학부모 후기