일곡동 고2수학과외







이항계수의 합을 부분집합으로 다시 확인하기
“전체 계수의 합이 왜 \(n!\)이 아니죠?” 학생은 \(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}\)을 계산한 뒤, 각 항을 곱셈처럼 처리해 잘못된 값을 얻었다. 일곡동과외 수업에서는 이 오류를 계산법이 아니라 계수가 세는 대상부터 되짚었다.
하나의 식에서 출발한 검산
이항정리에서
\[ (1+x)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}x^r \]
이다. 여기에 \(x=1\)을 대입하면
\[ (1+1)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \]
따라서 전체 이항계수의 합은
\[ \boxed{\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}=2^n} \]
이다. \(n!\)은 \(n\)개 대상을 모두 배열하는 경우의 수이고, \(\binom{n}{r}\)은 \(n\)개 중 \(r\)개를 고르는 경우의 수이므로 서로 세는 대상이 다르다.
부분집합과 짝수·홀수 계수
\(\binom{n}{r}\)은 \(n\)개 원소를 가진 집합에서 원소를 \(r\)개 선택하는 방법의 수다. \(r=0,1,\ldots,n\)을 모두 합치면 모든 부분집합을 한 번씩 세게 된다. 각 원소마다 선택하거나 선택하지 않는 두 가지 경우가 있으므로 전체 부분집합 수는 \(2^n\)이다.
짝수 번째 계수와 홀수 번째 계수를 나누려면 \(x=-1\)을 대입한다.
\[ (1-1)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}(-1)^r=0 \qquad(n\ge1) \]
짝수 계수의 합을 \(E\), 홀수 계수의 합을 \(O\)라 하면
\[ E+O=2^n,\qquad E-O=0 \]
이므로
\[ \boxed{E=O=2^{n-1}}\qquad(n\ge1) \]
새 문제로 최종 확인
예를 들어 \(n=4\)이면 계수는
\[ 1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1 \]
전체 합은 \(1+4+6+4+1=16=2^4\)이고, 짝수 위치 계수의 합은 \(1+6+1=8\), 홀수 위치 계수의 합은 \(4+4=8\)이다.
따라서 계수합을 \(n!\)로 계산한 풀이는 폐기해야 하며, \((1+1)^n\) 또는 부분집합의 개수로 검산하는 것이 정확하다. 광주숭일고등학교와 살레시오고등학교 학생도 같은 유형에서 먼저 ‘무엇을 세는가’를 확인하면 계산 오류를 줄일 수 있다.