일곡동 고1수학과외
일곡동 고1수학과외, 선택과 배열에서 경계값을 놓치지 않는 연습
선택한 학생을 줄 세우는 경우의 수 문제에서 학생은 먼저 대표를 고른 뒤 자리를 배열하려 했다. 그러나 특정 학생을 반드시 포함하거나 제외하는 조건이 붙자, 그 조건이 선택 단계에만 적용되는지 배열 단계에도 이어지는지 구분하지 못했다.
선택 단계와 배열 단계의 경계가 흐려진 순간
학생은 전체 인원에서 몇 명을 고른 뒤 곧바로 순열을 곱했다. 이 과정에서 조건에 해당하는 학생을 이미 선택한 경우와 선택하지 않은 경우를 나누지 않아 일부 경우를 두 번 세거나 빠뜨렸다. 답을 수정하기보다 계산 결과가 자연스러운지만 확인한 것이 최초 오류였다.
조건이 붙은 대상이 ‘선택’에 영향을 주는지, ‘배열’에 영향을 주는지 먼저 구분해 보자.
교정할 때는 문제의 조건마다 번호를 붙이고, 각 조건이 적용되는 단계를 한 줄로 표시했다. 예를 들어 ‘A를 포함한다’는 조건은 선택 단계에서 A가 들어간 묶음을 만드는 기준이 되고, 그 뒤의 배열에서는 이미 선택된 인원만 대상으로 삼는다. 이렇게 단계별 역할을 고정하자 같은 대상을 선택과 배열에서 중복 처리하는 실수가 줄었다.
조건의 위치를 바꾼 변형
다음에는 “A를 포함해 세 명을 뽑아 배열하라”는 문장을 “세 자리를 먼저 정한 뒤 A가 특정 자리에 오도록 하라”는 형태로 바꾸어 풀었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건이 작용하는 위치를 바꾼 문제였지만, 학생은 선택 대상과 배열 대상을 분리해 식을 세웠다.
이번에는 특정 학생이 포함되는 경우가 아니라 양끝자리를 차지할 수 없는 경우를 제시했다. 학생은 조건 번호를 다시 매긴 뒤, 선택을 마친 뒤 배열하는 과정에서 제한이 생긴다는 점을 구분했다.
처음 보는 문장에서의 확인
- 조건에 해당하는 대상이 선택 전에 정해지는지 확인했다.
- 선택된 대상만으로 배열하는지 식의 범위를 점검했다.
- 완성한 경우가 조건을 만족하는지 대표 사례 하나를 직접 세어 보았다.
마지막에는 답만 제출하지 않고, 각 곱셈 단계가 선택인지 배열인지 설명하게 했다. 계산식의 순서와 문제 문장의 조건 순서가 일치하는지 확인하면서, 표현이 달라져도 경계값을 놓치지 않는 풀이 기준을 세웠다.