일곡동 고등수학과외

일곡동 고등수학과외에서는 학교 자료를 풀 때 정답만 맞히는 데서 멈추지 않고, 식의 표현이 바뀌어도 그래프의 의미를 유지하는지 확인한다. 광주숭일고등학교와 살레시오고등학교 수학 문제를 참고하더라도 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 학생이 실제로 어느 줄에서 판단을 놓치는지 기록하며 지도한다. 청솔4차와 대림1차 주변에서 학습하는 학생에게도 로그함수의 정의역과 점근선을 따로 외우게 하기보다 하나의 그래프 장면으로 연결해 보게 한다.

지수식에서 로그 그래프로 넘어가는 순간

학생에게 y=13^x-4의 그래프를 그려 보라고 하면 처음에는 “밑이 13이므로 증가하고, 정의역은 모든 실수”라고 정확히 말한다. 이어서 식을 로그 형태로 바꾸라는 요구가 나오면 log₁₃y=x-4까지 적는다. 여기까지는 표현 형식만 바꾼 것이므로 맞다.

문제는 그다음이었다. 사분면 표시가 있는 좌표평면에 그래프를 옮기면서 학생은 지수식의 x-4를 로그의 입력 조건처럼 받아들였다. “4보다 큰 x에서만 값이 생기니까 정의역은 x>4”라고 적은 것이다. 그러나 x-4는 지수에 들어가는 입력의 이동량일 뿐, 지수함수의 정의역을 제한하는 조건이 아니다. 13^x-4는 어떤 실수 x에서도 양의 값을 갖는다.

첫 오류를 그래프의 위치로 되짚기

오류가 생긴 줄을 지운 뒤, 식에 실제 수를 대입했다. x=4이면 y=1, x=3이면 y=1/13, x=2이면 y=1/169가 된다. x가 4보다 작아도 함수값은 계속 존재한다. 다만 4에서 왼쪽으로 갈수록 0에 가까워질 뿐 0이 되지는 않는다. 따라서 정의역은 전체 실수이고, 치역은 y>0이다.

이어서 학생은 점근선을 직접 표시했다. 그래프는 오른쪽으로 갈수록 빠르게 올라가며, 왼쪽으로 갈수록 x축에 가까워진다. 그래서 수평점근선은 y=0이다. x=4라는 숫자는 정의역의 경계가 아니라 그래프가 점 (4,1)을 지나는 기준점이다. 로그식으로 바꾸면 log₁₃y=x-4이고, 이를 y에 대해 정리한 원래 식과 혼동하지 않아야 한다. 역함수의 좌표를 쓰려면 x와 y를 바꾸어 y=log₁₃x+4가 되며, 이 그래프의 정의역은 x>0, 수직점근선은 x=0이다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 판단하기

다음에는 y=5^x+2를 제시하고 같은 설명을 요구했다. 학생은 먼저 모든 실수에서 정의된다고 적고, x=-2일 때 y=1이라는 기준점을 찾았다. x가 음의 방향으로 커질수록 y가 0에 가까워지므로 점근선은 여전히 y=0이라고 판단했다. 이번에는 밑을 5에서 1/5로 바꾸어 y=(1/5)^x+2를 제시했다. 정의역과 점근선은 같지만 그래프가 감소한다는 점을 별도로 표시했다. 지수의 이동값과 밑의 크기를 각각 확인한 결과다.

식 안의 숫자가 정의역의 경계인지, 그래프가 지나는 기준점을 정하는 숫자인지 먼저 구분하면 사분면 그림에서도 판단이 흔들리지 않는다.

표와 역관계로 마무리 검산

마지막에는 계산표를 만들었다. y=13^x-4에 x=2, 3, 4, 5를 넣으면 y는 각각 1/169, 1/13, 1, 13이다. 표의 값들이 모두 양수이고 x가 증가할 때 y도 증가하므로 그래프 방향과 일치한다. 또 역함수 y=log₁₃x+4에 x=1을 넣으면 y=4가 되어 원래 함수의 점 (4,1)과 좌표가 바뀐다. 점근선도 원래 그래프의 y=0이 역함수에서는 x=0으로 바뀐다. 정의역을 x>4로 제한했을 때 표의 x=2, 3을 버리게 된다는 점까지 확인하면서 처음 오류가 단순 암기 문제가 아니었음을 검증했다.

자주 묻는 질문

• 13^x-4에서 4는 정의역의 경계인가요?
  아닙니다. 그래프가 (4,1)을 지나도록 하는 가로 이동 기준입니다.
• 지수함수의 수평점근선은 왜 y=0인가요?
  x가 음의 방향으로 커질 때 함수값이 0에 가까워지지만 0이 되지는 않기 때문입니다.
• 로그식 log₁₃y=x-4의 입력은 무엇인가요?
  로그의 입력은 y이며, 로그가 정의되려면 y>0이어야 합니다.
• 역함수의 점근선은 어떻게 찾나요?
  원래 그래프의 좌표를 뒤집으므로 y=0은 x=0으로 바뀝니다.