운암동 중2수학과외

운암동 중2수학과외에서 확인한 연립방정식 풀이의 첫 선택

운암동과외 수업에서 학생은 두 미지수를 구하는 연립일차방정식 문제를 풀며 가감법을 사용했다. 문제의 조건은 “두 종류의 물건을 합해 17개이고, 가격을 합하면 41,000원”이라는 내용이었다.

학생은 먼저 x+y=17, 2000x+3000y=41000이라고 적고, 두 식을 세로로 맞추었다. x와 y에 동그라미를 치고 두 계수를 살펴본 뒤, 두 번째 식을 2로 나누어 1000x+1500y=20500으로 바꾸었다.

여기까지는 식을 정확히 옮기고 계수를 정리한 과정이었다. 그러나 가감법으로 넘어가면서 학생은 예제에서 자주 보았던 순서대로 첫 번째 식에서 x를 없애겠다고 정했다. 두 번째 식의 y 계수가 1500이고 첫 번째 식의 y 계수가 1인데도, x를 맞추는 데 필요한 배수를 먼저 계산했다. 첫 식에 1000을 곱하고 두 번째 식에서 빼려다 계산량이 커졌고, 어느 식에 어떤 수를 곱해야 하는지 혼동하기 시작했다.

없앨 문자가 아니라 계수의 관계부터 보기

교사는 계산을 모두 지우게 하지 않고, 학생이 처음 세운 식을 그대로 둔 채 두 문자 옆에 계수를 다시 표시하게 했다. 그리고 “어느 문자의 계수를 맞추면 가장 적은 조작으로 한 문자를 없앨 수 있는가?”라는 한 가지 기준만 남겼다. 이 문제에서는 x의 계수가 1과 1000이고, y의 계수는 1과 1500이다. 어느 쪽도 바로 소거되지는 않지만, 원래 식을 분수로 만들지 않는 방향을 먼저 선택해야 했다.

학생은 두 식을 각각 원래 형태로 다시 적고, 첫째 식에 2000을 곱한 뒤 둘째 식에서 빼는 대신 가격식의 단위를 천 원으로 통일했다.

• x+y=17
• 2x+3y=41

이제 x의 계수를 맞추기 위해 첫째 식 전체에 2를 곱하고, 둘째 식에서 빼면 x가 사라진다는 점을 스스로 표시했다.

• 2x+2y=34
• 2x+3y=41

아래 식에서 위 식을 빼어 y=7을 얻었고, x+y=17에 y=7을 대입하여 x=10을 계산했다. 교사는 처음부터 다시 풀게 하지 않고, 이미 맞았던 식 세우기와 단위 통일은 유지하게 했다. 바뀐 것은 “예제와 같은 문자를 없앤다”는 선택을 “계수를 적게 바꾸어 소거되는 문자를 고른다”로 교정한 부분뿐이었다.

표와 질문이 바뀐 문제에 적용하기

다음 문제는 식이 바로 제시되지 않았다. 어느 체험권은 성인과 학생을 합해 12장이고, 성인권은 8천 원, 학생권은 5천 원이며 총액은 81,000원이라는 표가 주어졌다. 이번에는 “학생권을 몇 장 샀는가?”가 질문이었다. 학생은 표의 두 행을 읽고 성인 수를 x, 학생 수를 y로 정한 뒤 수량 조건과 금액 조건을 각각 한 식으로 옮겼다.

x+y=12
8x+5y=81

학생은 질문이 y를 요구하더라도 곧바로 y를 고립시키지 않았다. 두 식에서 x의 계수가 1과 8이므로 첫 식에 8을 곱하면 x가 사라진다고 말하고, “금액 식에서 수량 식의 8배를 빼면 y만 남는다”고 풀이 방향을 설명했다. 실제로 8x+5y=81에서 8x+8y=96을 빼어 -3y=-15, y=5를 얻었다. 이어 x=7을 구하고, 표의 총액에 8×7+5×5=81을 대입해 검산했다.

도움 없이 다시 세운 판단

한 주 뒤에는 계수가 분수로 제시된 문제를 사용했다.

• 1/2x+1/3y=7
• x+y=18

학생은 숫자만 계산하려 하지 않고 두 식 전체에 6을 곱해 3x+2y=42, x+y=18로 바꾸었다. 잠시 멈춰 두 식의 계수를 비교한 뒤, x를 없애려면 둘째 식에 3을 곱해야 하고 y를 없애려면 둘째 식에 2를 곱해야 한다고 말했다. “둘 다 가능하지만 3을 곱한 뒤 빼면 y의 계수가 1로 남아 계산이 짧다”고 첫 행동의 이유를 설명했다.

3x+2y=42에서 3x+3y=54를 빼어 y=12, x=6을 구한 뒤, 두 원래 식에 각각 대입했다. 1/2×6+1/3×12=7이고 6+12=18임을 확인하며, 식의 모양이나 질문이 바뀌어도 먼저 계수를 비교하고 소거할 문자를 선택한다는 판단을 스스로 재현했다.

운암동중2수학과외에서는 이처럼 정답보다 가감법의 첫 선택을 기록하게 한다.