운암동 고등수학과외
운암동 고등수학과외에서는 로그식을 계산하는 데서 멈추지 않고, 식에 숨어 있는 정의역과 그래프의 관계를 말로 복원하는 연습을 진행합니다. 서강고등학교와 금호고등학교 학생도 학교 자료를 풀다가 점근선의 위치는 맞혔지만, 그 근거가 되는 조건을 설명하지 못하는 경우가 있습니다. 동천마을6단지와 첨단지구 생활권에서 이루어지는 학습에서도 이 부분을 별도의 풀이 장면으로 다룹니다.
가려진 로그식에서 정의역을 되찾는 순간
학생 앞에는 로그함수 그래프만 남아 있고 식은 가려져 있습니다. 그래프가 x=1 근처에서 끊겨 있으니 점근선은 x=1이라고 적었지만, 왜 그런지 묻자 “로그함수의 점근선은 원래 x=1”이라고 답합니다. 이 답은 밑이 고정된 y=log_a x의 그래프와, 밑이 변수인 y=log_x 5를 구별하지 못한 상태입니다.
식을 다시 드러내자 학생은 y=log_x 5에서 진수 5만 확인하고 x의 범위를 쓰지 않은 채 그래프를 연결하려 했습니다. 여기서 첫 오류가 생깁니다. 로그의 밑 x는 양수여야 하고 1이 될 수 없으므로 x>0, x≠1입니다. 진수 5는 양수이므로 추가 제한을 만들지 않습니다. 따라서 정의역은 (0,1)과 (1,∞)로 나뉘며, x=1은 함수가 정의되지 않는 경계입니다. 점근선의 위치를 외워 적은 것이 아니라, 밑의 조건이 그래프의 끊김을 만들었다는 연결이 완성되어야 합니다.
근거식을 앞에 세워 풀이를 고친다
교정할 때는 그래프부터 읽지 않고 다음 순서로 종이에 적습니다.
- 로그의 밑 조건: x>0, x≠1
- 진수 조건: 5>0
- 정의역: x∈(0,1)∪(1,∞)
- 정의역에서 빠지는 경계값: x=1
그다음 밑이 1에 가까워질 때 값을 확인합니다. x가 1보다 큰 쪽에서 1에 가까워지면 log_x5는 큰 양수가 되고, 0과 1 사이에서 1에 가까워지면 큰 음수가 됩니다. 양쪽 가지가 모두 x=1 주변에서 발산하므로 그래프의 수직점근선이 x=1이라는 결론을 다시 얻습니다. 학생은 이전처럼 점근선 이름을 먼저 적지 않고, 조건식에서 그래프를 만들어 내게 됩니다.
점근선은 그래프에 표시된 선을 읽어 쓰는 답이 아니라, 정의역에서 제외된 값과 함수값의 변화를 함께 확인한 결과다.
조건을 바꾼 문제에서 혼자 설명하기
다음에는 log_x5의 진수 조건을 일부러 지우고, “x>7이라는 조건만 주어졌다면 정의역 연결을 어떻게 설명할 것인가?”를 묻습니다. 학생은 먼저 x>7이면 자동으로 x>0이고 x≠1이므로 로그의 밑 조건을 만족한다고 말합니다. 그러나 이것은 원래 로그식의 정의역 전체가 아니라, 추가로 제한된 구간임을 구분해야 합니다. 주어진 조건 아래에서 허용되는 범위는 x>7이며, 그래프의 x=1 점근선은 그 구간 밖에 있어 관찰 대상에서 제외됩니다. 조건이 바뀌면 점근선 자체가 사라지는 것이 아니라, 문제에서 다루는 정의역 일부에 나타나지 않을 수 있다는 점을 설명하게 합니다.
이어 log_23(529)를 계산합니다. 529=23²이므로 값은 2입니다. 여기서 밑 23과 변수 x를 혼동하지 않도록, log_23(529)는 상수 계산이고 log_x5는 x에 따라 값이 바뀌는 함수라는 차이를 표로 정리합니다. 같은 로그 기호가 있어도 밑의 역할이 다르면 정의역과 그래프 해석도 달라집니다.
무리함수와 연결한 최종 검증
마지막에는 풀이 방식을 바꿔 역관계로 확인합니다. y=log_x5라 두면 x^y=5입니다. x=1을 대입하면 1^y=5가 되어 성립하지 않으므로 x=1이 제외된다는 사실을 원식 변환으로 재검산합니다. 이어 정의역 밖의 수를 무리함수의 루트 안에 넣었을 때 실수값이 생기지 않는 예를 비교합니다. 예를 들어 √(x-3)은 x<3에서 실수값을 만들지 못하듯, 로그도 밑 조건을 벗어나면 계산 기호가 남아 있어도 실수 범위의 함수가 되지 않습니다. 그래프, 조건식, 역변환이 같은 결론을 가리키는지 확인하며 풀이를 마칩니다.
자주 묻는 질문
log_x5의 점근선은 항상 x=1인가요?
실수 범위에서 x를 밑으로 보는 그래프라면 x=1이 정의역에서 제외되며, 그 주변에서 함수값이 발산해 수직점근선으로 다뤄집니다.
5>0은 정의역에 아무 영향이 없나요?
이 식에서는 이미 참인 조건이라 x의 범위를 줄이지 않습니다. 다만 진수가 변수식이라면 반드시 별도로 확인해야 합니다.
x>7이면 x≠1을 생략해도 되나요?
주어진 제한 안에서는 생략해도 결과가 달라지지 않지만, 원래 로그함수의 조건을 설명하는 풀이에서는 x>0, x≠1을 먼저 밝혀야 합니다.
log_23(529)도 점근선을 확인해야 하나요?
아닙니다. 밑과 진수가 고정된 값의 계산이므로 함수 그래프를 해석하는 log_x5와 다릅니다.