매곡동 고2수학과외







이동거리는 왜 0이 아닐까?
한 학생은 속도 함수의 정적분을 계산한 뒤 이동거리를 0이라고 적었다. 하지만 물체가 세 번 방향을 바꾸며 움직였다면 출발점으로 돌아왔더라도 이동한 길이는 0이 아니다. 이 문제의 핵심은 변위와 이동거리를 구분하는 것이다.
속도 함수와 방향 변화
구간 \(0\le t\le4\)에서 속도가
\[ v(t)=(t-1)(t-2)(t-3) \]
라고 하자. 속도가 0이 되는 시점은 \(t=1,2,3\)이다.
- \(0
- \(1
0\) - \(2
- \(3
0\) - \(1
따라서 속도의 부호가 세 번 바뀐다.
변위와 이동거리의 계산 비교
부호를 그대로 둔 정적분
부정적분을 \(F(t)\)라 하면
\[ F(t)=\frac{t^4}{4}-2t^3+\frac{11}{2}t^2-6t \]
이므로 전체 변위는
\[ \int_0^4v(t)\,dt=F(4)-F(0)=0 \]
이다. 이는 최종 위치가 출발 위치와 같다는 뜻이지, 이동거리가 없다는 뜻은 아니다.
속도의 절댓값을 적분하기
각 구간에서 이동거리를 따로 계산하면
\[ \begin{aligned} \int_0^1|v(t)|dt&=|F(1)-F(0)|=\frac94,\\ \int_1^2|v(t)|dt&=|F(2)-F(1)|=\frac14,\\ \int_2^3|v(t)|dt&=|F(3)-F(2)|=\frac14,\\ \int_3^4|v(t)|dt&=|F(4)-F(3)|=\frac94. \end{aligned} \]
따라서 실제 이동거리는
\[ \int_0^4|v(t)|dt =\frac94+\frac14+\frac14+\frac94=5 \]
이다.
기호를 바꾼 최종 검증
음수 구간을 양수로 바꾸어 다시 쓰면
\[ \int_0^4|v(t)|dt =-\int_0^1v(t)dt+\int_1^2v(t)dt-\int_2^3v(t)dt+\int_3^4v(t)dt \]
가 된다. 음수 변위를 그대로 더한 식은 상쇄되어 0이 되지만, 이동거리는 각 구간의 길이를 합하므로 5이다. 매곡동과외에서 속도 문제를 다룰 때도 먼저 부호표로 방향을 확인한 뒤 \(\int v(t)dt\)인지 \(\int|v(t)|dt\)인지 구분해야 한다.