매곡동 고2수학과외







이동거리는 왜 0이 아닐까?
한 학생은 속도 함수의 정적분을 계산한 뒤 이동거리를 0이라고 적었다. 하지만 물체가 세 번 방향을 바꾸며 움직였다면 출발점으로 돌아왔더라도 이동한 길이는 0이 아니다. 이 문제의 핵심은 변위와 이동거리를 구분하는 것이다.
속도 함수와 방향 변화
구간 \(0\le t\le4\)에서 속도가
\[ v(t)=(t-1)(t-2)(t-3) \]
라고 하자. 속도가 0이 되는 시점은 \(t=1,2,3\)이다.
- \(0
- \(1
0\) - \(2
- \(3
0\) - \(1
따라서 속도의 부호가 세 번 바뀐다.
변위와 이동거리의 계산 비교
부호를 그대로 둔 정적분
부정적분을 \(F(t)\)라 하면
\[ F(t)=\frac{t^4}{4}-2t^3+\frac{11}{2}t^2-6t \]
이므로 전체 변위는
\[ \int_0^4v(t)\,dt=F(4)-F(0)=0 \]
이다. 이는 최종 위치가 출발 위치와 같다는 뜻이지, 이동거리가 없다는 뜻은 아니다.
속도의 절댓값을 적분하기
각 구간에서 이동거리를 따로 계산하면
\[ \begin{aligned} \int_0^1|v(t)|dt&=|F(1)-F(0)|=\frac94,\\ \int_1^2|v(t)|dt&=|F(2)-F(1)|=\frac14,\\ \int_2^3|v(t)|dt&=|F(3)-F(2)|=\frac14,\\ \int_3^4|v(t)|dt&=|F(4)-F(3)|=\frac94. \end{aligned} \]
따라서 실제 이동거리는
\[ \int_0^4|v(t)|dt =\frac94+\frac14+\frac14+\frac94=5 \]
이다.
기호를 바꾼 최종 검증
음수 구간을 양수로 바꾸어 다시 쓰면
\[ \int_0^4|v(t)|dt =-\int_0^1v(t)dt+\int_1^2v(t)dt-\int_2^3v(t)dt+\int_3^4v(t)dt \]
가 된다. 음수 변위를 그대로 더한 식은 상쇄되어 0이 되지만, 이동거리는 각 구간의 길이를 합하므로 5이다. 매곡동과외에서 속도 문제를 다룰 때도 먼저 부호표로 방향을 확인한 뒤 \(\int v(t)dt\)인지 \(\int|v(t)|dt\)인지 구분해야 한다.
답의 단위까지 해석해 보려면
계산값을 얻은 뒤 그것이 길이인지 비율인지 변화량인지 문장으로 써 보세요. 답의 형태가 문제에서 요구한 대상과 맞는지 확인하는 과정입니다. 단위를 가진 자료를 다루는 단원에서는 수치가 맞아도 의미를 잘못 설명한 부분이 없는지 함께 살펴보는 것이 좋습니다.
수강 과목의 이름과 교재 범위를 확인하기
고2라고 모두 같은 과목과 단원을 같은 순서로 배우는 것은 아닙니다. 상담에는 실제 수강 과목명과 사용하는 교재의 목차를 준비해 보세요. 학년만으로 학습 범위를 추정하지 않고 지금 배우는 내용부터 맞추는 데 도움이 됩니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
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|---|---|---|
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