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매곡동 고2수학과외

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이동거리는 왜 0이 아닐까?

한 학생은 속도 함수의 정적분을 계산한 뒤 이동거리를 0이라고 적었다. 하지만 물체가 세 번 방향을 바꾸며 움직였다면 출발점으로 돌아왔더라도 이동한 길이는 0이 아니다. 이 문제의 핵심은 변위와 이동거리를 구분하는 것이다.

속도 함수와 방향 변화

구간 \(0\le t\le4\)에서 속도가

\[ v(t)=(t-1)(t-2)(t-3) \]

라고 하자. 속도가 0이 되는 시점은 \(t=1,2,3\)이다.

  • \(0
  • \(10\)
  • \(2
  • \(30\)

따라서 속도의 부호가 세 번 바뀐다.

변위와 이동거리의 계산 비교

부호를 그대로 둔 정적분

부정적분을 \(F(t)\)라 하면

\[ F(t)=\frac{t^4}{4}-2t^3+\frac{11}{2}t^2-6t \]

이므로 전체 변위는

\[ \int_0^4v(t)\,dt=F(4)-F(0)=0 \]

이다. 이는 최종 위치가 출발 위치와 같다는 뜻이지, 이동거리가 없다는 뜻은 아니다.

속도의 절댓값을 적분하기

각 구간에서 이동거리를 따로 계산하면

\[ \begin{aligned} \int_0^1|v(t)|dt&=|F(1)-F(0)|=\frac94,\\ \int_1^2|v(t)|dt&=|F(2)-F(1)|=\frac14,\\ \int_2^3|v(t)|dt&=|F(3)-F(2)|=\frac14,\\ \int_3^4|v(t)|dt&=|F(4)-F(3)|=\frac94. \end{aligned} \]

따라서 실제 이동거리는

\[ \int_0^4|v(t)|dt =\frac94+\frac14+\frac14+\frac94=5 \]

이다.

기호를 바꾼 최종 검증

음수 구간을 양수로 바꾸어 다시 쓰면

\[ \int_0^4|v(t)|dt =-\int_0^1v(t)dt+\int_1^2v(t)dt-\int_2^3v(t)dt+\int_3^4v(t)dt \]

가 된다. 음수 변위를 그대로 더한 식은 상쇄되어 0이 되지만, 이동거리는 각 구간의 길이를 합하므로 5이다. 매곡동과외에서 속도 문제를 다룰 때도 먼저 부호표로 방향을 확인한 뒤 \(\int v(t)dt\)인지 \(\int|v(t)|dt\)인지 구분해야 한다.

매곡동 고2수학과외 학부모 후기

시험 결과를 가족에게 보여준 뒤 자료를 정리하는데, 아이가 문제들을 그냥 한꺼번에 넣지 않더라고요. 답은 맞았지만 풀이 과정에서 계산을 다시 확인하지 않은 문제만 골라 접어 두고, 다음에 볼 곳을 따로 표시해 뒀어요. 예전 복습 때는 어디에서 막혔는지 본인도 잘 짚지 못한 채 전체 문제를 다시 펼쳐 보곤 했거든요. 매곡동 수학과외 이야기를 나누며 자료를 챙기던 때라 더 눈에 띄었습니다. 새로운 수행평가 대본을 받아 연습할 때도 비슷했어요. 여러 문제 중 검산이 필요한 것만 따로 가려내고, 이어서 공부할 위치까지 표시해 두더라고요. 맞힌 문제를 전부 다시 보는 대신 확인할 부분만 남겨 둔 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

책상 위에 수업 자료를 출력해 둔 날이었어요. 아이가 답지를 옆에 펼쳐 두지 않고, 자기 계산을 아래 줄부터 하나씩 거슬러 올라가며 보고 있더라고요. 따로 확인하라고 말한 적도 없어서 잠깐 걸음을 멈추고 지켜봤습니다. 예전에는 풀이를 다시 볼 때 처음부터 끝까지 거의 같은 비중으로 훑는 편이었거든요. 그런데 그날에는 계산이 이어지는 부분마다 멈추는 곳이 달랐고, 이미 맞았는지 답지로 먼저 확인하려 하지 않았어요. 매곡동 수학과외를 알아보던 중에도 제가 눈여겨본 건 이런 작은 장면이었습니다. 수학 교재를 가방에 넣기 직전에도 비슷한 모습이 보이더라고요. 해설부터 찾는 대신 자기 계산을 한 줄씩 되짚으면서 확인할 곳을 먼저 골라내더라고요. 마지막까지 모든 줄을 똑같이 붙잡고 있던 예전과 달리, 어디를 살펴봐야 하는지가 드러난 채로 책을 정리했습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 수학 숙제를 펼쳐 놓았는데, 아이가 틀린 문제를 처음부터 다시 보는 게 아니라 잘못 시작된 식을 먼저 찾아 표시하더라고요. 계산 결과만 확인하는 줄 알았는데, 식의 어느 부분에서 흐름이 달라졌는지 눈으로 짚고 있었습니다. 모의고사를 본 날 밤 장면도 생각났어요. 오답 문제 전체를 크게 고치는 대신, 처음 틀린 식만 네모로 묶어 두었거든요. 예전에는 나중에 다시 보겠다고 해도 문제 번호나 위치를 따로 남겨 두지 않았는데, 그날에는 수정할 곳이 한눈에 보이게 해두었어요. 매곡동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 변화가 눈에 들어왔는데, 자료를 정리하는 방식이 꽤 구체적이었어요. 학교 숙제에서도 처음 잘못된 식에 표시가 남아 있으니 어디부터 다시 살펴볼지 바로 찾을 수 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

매곡동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 평일에 집에 오면 먼저 오늘 틀린 문제부터 다시 펼쳐 보는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 숙제를 한꺼번에 많이 내기보다 아이가 해낼 수 있는 양으로 나누고, 수업 전에 궁금한 문제를 직접 골라 오게 하셨습니다. 숙제가 밀린 날에도 포기하지 않고 할 수 있는 것부터 시작하는 변화가 고마웠습니다.

★★★★★학부모 후기

매곡동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 쉬운 문제도 확신 없이 풀다가 풀이가 길어지면 금세 손을 놓곤 했습니다. 선생님은 진도가 빨라진 날에도 무리하게 나가지 않고 복습과 오답 확인으로 수업을 마무리했으며, 아이가 질문하기 편한 분위기를 만들어 주셨습니다. 방학 첫 주 계획도 실제 생활에 맞게 다시 조정해 주셔서 학교 일정이 바뀌어도 덜 흔들렸고, 요즘은 수업 내용을 먼저 이야기하는 모습이 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

주말 오전이면 숙제를 미루던 아이가 요즘은 먼저 책상에 앉는 모습이 눈에 띕니다. 매곡동에서 수학 과외를 시작한 초반에는 실수할까 봐 질문도 숨기고 숙제를 몰아서 했지만, 선생님께서 반응을 살피며 같은 내용을 다른 말로 천천히 설명해 주셔서 부담이 줄었다고 합니다. 시험 일주일 전에도 모르는 부분을 편하게 묻는 모습이 기억에 남았습니다.

★★★★☆학부모 후기