매곡동 고1수학과외
매곡동 고1수학과외, 순열에서 같은 역할로 묶어 생긴 오류를 바로잡은 과정
학생은 네 명의 발표 순서를 정하는 문제에서 두 사람을 먼저 한 묶음으로 보고 경우를 나누었다. 각 경우의 수를 계산한 뒤 답은 얻었지만, 두 사람의 역할이 서로 다른데도 같은 자리처럼 처리한 것이 문제였다.
순서를 정하기 전 역할부터 구분하다
순열에서는 선택한 대상뿐 아니라 배열되는 순서도 결과에 영향을 준다. 학생은 ‘첫 발표자’와 ‘마지막 발표자’를 같은 역할로 취급하면서 경우를 분류했고, 그 과정에서 일부 배열을 중복해서 세었다.
각 대상이 어느 위치에 들어가는지 먼저 표시한 뒤, 같은 위치를 다시 세지 않는다.
교사는 경우를 나누기 전에 사람마다 맡은 위치를 기호로 적게 했다. A가 첫 자리, B가 둘째 자리처럼 역할을 고정하자, 두 대상을 교환했을 때 새로운 배열이 되는지 판단할 수 있었다. 경우를 나눈 직후에는 각 배열을 원래 조건에 다시 맞춰 보며 중복 여부만 확인했다.
질문의 방향을 바꿔 배열을 다시 세다
이후에는 ‘C가 D보다 앞에 오는 배열의 수’를 구하는 방식으로 조건을 바꾸었다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 특정 두 대상의 상대적 순서를 묻는 문제로 전환한 것이다. 학생은 C와 D의 역할을 분리한 뒤 나머지 대상의 자리를 정해 순열을 계산했고, 두 대상의 순서가 뒤바뀐 경우와 비교해 조건이 제대로 반영되었는지 살폈다.
- 자리의 의미가 다른 대상을 하나의 역할로 묶지 않기
- 배열에서 순서가 바뀌면 새로운 경우인지 확인하기
처음 보는 조건에서 중복을 찾아내다
마지막에는 다섯 명 중 특정 한 명이 가운데 자리에 올 수 없는 문제를 제시했다. 학생은 가운데 자리를 먼저 제외한 뒤 남은 네 자리를 배열하는 방식으로 답을 구했다. 이어서 특정 두 사람의 위치를 바꾸어도 같은 배열로 세었는지 확인하며, 각 배열이 한 번만 포함되는지 점검했다.
매곡동에서 진행한 이 학습 사례의 핵심은 계산 속도가 아니라, 순열에서 대상의 역할과 위치를 분리해 보는 습관이었다. 학생은 풀이 근거를 짧게 남기면서 새로운 조건에서도 중복과 누락을 스스로 확인했다.