매곡동 고등수학과외

매곡동 고등수학과외에서는 계산을 빨리 끝내는 연습보다, 식을 같은 밑으로 바꿀 수 있는지 먼저 판정하는 과정을 살펴봅니다. 광주과학고등학교와 광주제일고등학교를 준비하는 학생도 지수·로그 단원에서 이 판단을 건너뛰면 짧은 식에서 오답을 만들 수 있습니다. 용두주공아파트1차나 첨단지구 생활권에서 공부하는 학생들이 풀이를 설명할 때도 답만 적기보다 첫 변형의 근거를 말하게 합니다.

log_x15에서 멈춰야 하는 순간

학생에게 log_x15를 보고 밑을 15로 바꾸거나, 곧바로 지수끼리 비교해 보라고 하면 손이 먼저 움직이는 경우가 있습니다. 그러나 이 식만으로는 지수방정식의 해를 정할 수 없습니다. 밑 x와 진수 15 사이에 어떤 관계가 주어졌는지, 식의 양변이 무엇인지 확인해야 하기 때문입니다.

한 학생은 문제의 첫 줄에서 그래프 교점이나 조건을 적지 않은 채 “15는 3×5이므로 x도 3이나 5와 연결될 것”이라고 추측했습니다. 이어서 log_x15를 log_x(x^k)처럼 바꾸려 했지만, 15가 x의 정수 거듭제곱이라는 근거는 없었습니다. 밑을 같게 만들 수 있다는 판단이 실제 식에서 확인되지 않은 채 진행된 것이 첫 오류였습니다.

같은 밑 변환을 판정하는 교정 기록

먼저 로그의 정의역을 적습니다. x>0, x≠1이고, 진수 15는 양수이므로 진수 조건에는 문제가 없습니다. 그다음 “15=x^k인 k가 주어진 조건에서 정해지는가?”를 묻습니다. 그런 정보가 없다면 log_x15를 x의 지수식으로 바꿀 수 없습니다. 밑과 진수가 모두 숫자로 주어진 log₂4라면 4=2²이므로 값은 2이지만, 밑이 변수인 log_x15에는 같은 절차를 자동 적용할 수 없습니다.

같은 밑으로 바꾸는 일은 숫자를 비슷하게 보아 결정하지 않는다. 실제로 밑의 거듭제곱 관계가 성립하는지, 그 관계가 문제 조건에 의해 보장되는지 확인한다.

비교용으로 log₂₄(576)을 제시했습니다. 576=24²이므로 log₂₄(576)=2입니다. 이때는 밑 24와 진수 576의 관계가 명확합니다. 반대로 x>5라는 조건만 붙은 log_x15에서는 15=x^k라고 할 수 없습니다. x=6도 조건을 만족하지만 15는 6의 정수 거듭제곱이 아니며, x=15이면 log₁₅15=1이 됩니다. 조건 하나만으로 값이 고정되지 않는다는 점을 두 경우로 대조했습니다.

조건을 바꾼 다음 날의 독립 풀이

다음 날에는 밑의 범위를 x>5에서 0<x<1로 바꾸고, 식을 log_x9로 제시했습니다. 학생은 먼저 정의역을 확인한 뒤 “9가 x의 거듭제곱이라는 조건이 없으므로 같은 밑 변환 불가”라고 적었습니다. 이후 x=1/3이면 log_1/39=-2이고, x=1/9이면 값이 -1이라는 예를 직접 계산해 하나의 답으로 정할 수 없음을 확인했습니다. 조건 구간이 달라져도 변환 가능 여부를 별도로 판정한 장면입니다.

그래프로 끝내는 검증

처음에는 교점 표시 없이 그래프를 근거로 삼으려 했으므로, 마지막에는 실제 식을 그래프에 다시 대입했습니다. y=log_x15에서 x=15를 넣으면 y=1이지만, x=5를 넣으면 y는 1이 아니라 log₅15입니다. 두 점을 찍어 그래프가 하나의 수평선과 만나는 위치가 밑에 따라 달라짐을 확인했습니다. 따라서 “같은 밑으로 만들 수 있다”는 추측 대신, 주어진 조건만으로 해가 정해지는지부터 검증해야 합니다.

자주 묻는 질문

• log_x15의 정의역은 무엇인가요?
  x>0, x≠1입니다.
• 15가 3×5로 분해되면 로그를 나눌 수 있나요?
  곱셈을 로그의 합으로 바꾸려면 같은 밑의 로그가 각각 정의되어야 하며, 밑 x와의 관계도 확인해야 합니다.
• x>5이면 15=x^k가 될 수 있나요?
  일반적으로 보장되지 않습니다. x=15처럼 특정 값에서는 가능하지만 조건 전체에서는 성립하지 않습니다.
• 그래프는 언제 쓰나요?
  변환 가능 여부와 해의 존재를 직관적으로 확인한 뒤, 원래 식에 값을 다시 넣는 검증 단계에서 활용합니다.