방림동 중등수학과외

방림동중등수학과외, 산점도에서 마지막 점까지 살펴 양의 상관관계 확인하기

산점도와 상관관계를 배운 뒤에는 답을 맞혔더라도 그 답이 어떤 점들의 관계에서 나왔는지 설명해 보는 확인이 필요합니다. 자료쌍 (1,11), (2,12), (3,13), (4,14)를 좌표평면에 나타내면 x가 1씩 커질 때 y도 11, 12, 13, 14로 1씩 커집니다. 따라서 점들이 오른쪽 위 방향으로 함께 놓여 양의 상관관계가 있다는 판단은 맞습니다. 다만 “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”라는 질문에 단순히 “네”라고 답하는 것과, 네 점을 모두 근거로 들어 설명하는 것은 다릅니다. 방림동중등수학과외 수업에서는 맞힌 결과를 다시 오답처럼 다루지 않고, 그림의 표시와 말의 뜻이 같은지 확인하는 데 초점을 둡니다.

네 점을 모두 보면 왜 증가한다고 말할 수 있을까

기본 과제에서는 x의 순서대로 y값을 읽어 11 → 12 → 13 → 14라고 적어 봅니다. x=1에서 y=11, x=2에서 y=12, x=3에서 y=13, x=4에서 y=14이므로 앞선 x값보다 큰 다음 x값에 대응하는 y값도 계속 큽니다. 특히 마지막 점 (4,14)은 바로 앞 점 (3,13)보다 오른쪽에 있으면서 위에 있으므로, 마지막 점까지 포함해 y값이 증가한다고 설명할 수 있습니다. 산점도에 오른쪽 위로 향하는 경향선을 가볍게 그리고 각 점이 그 방향을 따른다는 표시를 하면, ‘일부 점이 아니라 전체 자료를 보았다’는 근거가 분명해집니다. 여기서 양의 상관관계란 한 자료의 값이 커질수록 다른 자료도 커지는 경향을 뜻하며, 모든 점이 반드시 완벽한 직선 위에 있어야만 사용하는 말은 아닙니다.

함께 변한다고 해서 원인까지 정할 수는 없다

이 자료에서 확인할 또 하나의 조건은 상관관계와 원인·결과의 차이입니다. x와 y가 함께 증가한다는 사실은 네 좌표로 확인할 수 있지만, x가 y를 증가시켰는지 또는 y가 x를 증가시켰는지는 좌표만으로 알 수 없습니다. 다른 요인이 두 값에 함께 영향을 주었을 가능성도 남아 있습니다. 따라서 풀이에는 “양의 상관관계가 있다”와 “이 자료만으로 원인과 결과는 확정할 수 없다”를 함께 적는 편이 정확합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 네 점을 표시한 산점도, 오른쪽 위 경향선, ‘원인 미확정’이라는 짧은 메모처럼 그림과 글을 연결해도 좋습니다. 중요한 것은 정답 문장을 외우는 일이 아니라, 어떤 표시가 양의 상관관계의 근거이고 어떤 정보가 원인 판단에 부족한지 구분하는 것입니다.

마지막 점이 (4,10)으로 바뀌면 판단도 바뀐다

비교 과제에서는 앞의 세 점 (1,11), (2,12), (3,13)은 그대로 두고 마지막 점만 (4,10)으로 바꿉니다. y값의 순서는 11 → 12 → 13 → 10이 됩니다. x=3에서 x=4로 갈 때 y가 13에서 10으로 내려가므로, 마지막 점까지 계속 증가한다고 말할 수 없습니다. 즉 단조 증가는 깨졌으며, 앞의 세 점만 보고 ‘완전한 증가 관계’라고 단정해서는 안 됩니다. 이때도 처음 세 점이 오른쪽 위에 있다는 관찰과 네 번째 점이 아래로 내려왔다는 관찰을 함께 적어야 합니다. 다음 확인에서는 정답을 가린 뒤 기본 과제에서 네 점 모두를 근거로 증가 여부와 원인 판단의 한계를 설명해 보고, 이어 비교 과제에서 y값의 순서와 마지막 점의 위치를 스스로 표시해 보게 합니다. 두 과제에서 실제 표시와 설명이 일치할 때, 전체 경향과 일부 점을 구별하는 다음 학습으로 자연스럽게 이어갈 수 있습니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.