방림동 고1수학과외







방림동 고1수학과외, 시간 제한 속 이차함수 부등식의 경계 놓치지 않기
이야기꽃도서관에서 진행한 짧은 풀이에서 학생은 이차함수의 식을 인수분해한 뒤 두 근을 찾는 데까지는 빠르게 도달했다. 그러나 부등호가 포함된 구간을 적는 순간, 양 끝값을 해에 넣을지 빼야 할지 판단이 흔들렸다.
근을 찾은 뒤 구간이 뒤집힌 이유
문제는 f(x)=x²-4x+3에 대하여 f(x)≤0을 만족하는 x의 범위를 구하는 것이었다. 학생은
x²-4x+3=(x-1)(x-3)
에서 x=1, 3을 얻었지만, 두 근 바깥의 범위를 답으로 적었다. 이 식의 최고차항 계수가 양수라 그래프가 위로 열리고, 두 근 사이에서 함수값이 0 이하가 된다는 점을 계산 뒤에 확인하지 않은 것이 핵심 오류였다.
부호가 바뀌는 지점만 먼저 표시하기
교정할 때는 복잡한 계산을 추가하지 않고, 수직선에 근 1과 3을 표시한 뒤 각 구간에서 곱의 부호가 어떻게 되는지만 적게 했다. x가 1과 3 사이이면 x-1은 양수, x-3은 음수이므로 곱은 음수다. 따라서 부등호가 ≤인 경우에는 근까지 포함하여
1≤x≤3
으로 정리된다. 경계값에서는 함수값이 0이므로 포함 여부도 식의 부등호와 연결된다.
시간을 나타내는 변수로 조건을 바꿔 보기
다음에는 같은 식을 단순히 다시 풀지 않고, t시간 뒤의 위치 변화가 음수가 되는 순간을 묻는 문장으로 바꾸었다. f(t)<0이라면 t는 1과 3 사이에만 있어야 하므로, t=1 또는 t=3은 제외된다. 학생은 식을 보자마자 답을 쓰는 대신 ‘음수인 시간 구간’으로 조건을 번역해 범위를 판단했다.
새 문항에서 그래프와 답의 관계 확인
마지막에는 g(x)=-x²+4x-3의 그래프가 x축보다 위에 있는 범위를 말하게 했다. 이번에는 부호표를 그대로 옮기지 않고, 아래로 열린 포물선이 두 근 사이에서 x축 위에 놓인다는 그래프의 위치로 답을 결정했다. 근이 1과 3이고 부등호가 엄격하므로 최종 범위는 1<x<3이며, 경계점에서 그래프가 x축과 만난다는 사실까지 확인했다.