방림동 고2수학과외

시험점 하나로 무너진 도함수 부호표

설월여자고등학교 학생의 풀이 기록에는 경계값을 대입한 흔적이 먼저 보였다. 예를 들어 \(f'(x)=(x-1)(x-4)\)에서 \(x=1,4\)를 넣어 모두 0임을 확인한 뒤, 각 구간의 부호까지 정했다고 적혀 있었다. 하지만 경계값은 부호를 확인하는 시험점이 아니다.

오류가 생긴 지점

도함수가 0이 되는 점은 부호표의 경계를 나누는 기준이다. 실제 부호는 다음 세 구간에서 각각 내부의 값을 하나씩 골라 판단해야 한다.

• \(x<1\): \(x=0\) 대입 → \((-)(-)=(+)\)
• \(1
• \(x>4\): \(x=5\) 대입 → \((+)(+)=(+)\)

따라서 부호는 \(+\), \(-\), \(+\)이고, 함수는 \((-\infty,1)\)에서 증가하고 \((1,4)\)에서 감소하며 \((4,\infty)\)에서 증가한다.

매개변수가 들어오면 먼저 순서를 확인한다

새 문제에서 \(f'(x)=(x-1)(x-a)\)가 주어졌다고 하자. 이때 바로 표를 그리면 안 되고, \(1\)과 \(a\) 중 어느 값이 작은지부터 확인해야 한다.

\(a>1\)인 경우

근의 순서는 \(1

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty,1)&1&(1,a)&a&(a,\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]

\(a<1\)인 경우

이번에는 근의 순서가 \(a<1\)로 바뀐다.

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty,a)&a&(a,1)&1&(1,\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]

시험점은 각 구간에서 하나씩 고르면 된다. \(a<1\)일 때 가운데 구간의 시험점으로 \(x=0\)을 쓸 수 있는지는 \(a<0\)인지까지 확인해야 하므로, 조건에 따라 \(x=\frac{a+1}{2}\)처럼 항상 구간 안에 있는 값을 선택하는 편이 안전하다.

다음 날의 재검증과 최종 판단

학생은 다음 날 경계값을 다시 대입해 \(f'(1)=0\), \(f'(a)=0\)임을 확인했다. 이 계산은 경계의 위치를 확인하는 데는 유효하지만, 구간 부호를 대신하지는 않는다.

특수한 경우 \(a=1\)

\(a=1\)이면

\[ f'(x)=(x-1)^2 \]

이므로 \(x\ne1\)에서 항상 양수이고 \(x=1\)에서만 0이다. 부호표는

\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty,1)&1&(1,\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&+ \end{array} \]

가 된다. 따라서 \(x=1\)에서 도함수의 부호가 바뀌지 않는다. 근이 있다는 사실만으로 극대나 극소가 결정되는 것은 아니다.

풀이를 다시 적용하는 순서

1. 도함수를 인수분해한다.
2. 도함수가 0이 되는 경계값을 찾는다.
3. 매개변수에 따라 경계값의 순서를 정한다.
4. 각 열린 구간에서 시험점 하나를 고른다.
5. 인수별 부호를 계산해 전체 부호를 결정한다.
6. 필요하면 경계에서 부호가 실제로 바뀌는지 확인한다.

이처럼 방림동과외에서 부호표를 점검할 때도 경계값의 대입 결과와 구간 내부의 부호 판정을 구분하면, 시험점 선택 오류를 스스로 찾아낼 수 있다.