소촌동 중2수학과외
오답 풀이를 뒤에서부터 읽어 찾은 일차부등식의 첫 오류
소촌동과외 수업에서 학생은 정광중학교가 포함된 생활권의 중2수학 문제를 풀다가 ‘최소 조건’을 식으로 옮기는 과정에서 답의 범위가 반대로 나온 오답을 가져왔다. 소촌동중2수학과외에서는 완성된 풀이를 처음부터 다시 설명하게 하기보다, 마지막 줄에서 거꾸로 올라가며 어느 줄에서 판단이 달라졌는지 확인했다. 하남주공1단지와 이야기꽃도서관이 있는 생활권에서 접하는 실생활형 문장도 같은 방식으로 읽을 수 있도록 문제의 조건과 계산을 분리해 살폈다.
답이 틀어진 지점을 뒤에서 역추적하다
문제는 “한 개에 1,200원인 물건을 몇 개 사고, 배송비 2,000원을 더해도 가진 돈 8,000원을 넘지 않으려면 물건을 최대 몇 개 살 수 있는가?”와 비슷한 구조였다. 학생은 먼저 물건의 개수를 x로 두고, 총비용을 1200x+2000≤8000으로 적었다. 여기까지는 문장의 ‘넘지 않으려면’을 ‘작거나 같다’로 표시해 정확히 읽었다.
그런데 오답노트의 다음 줄에는 분수를 포함한 다른 조건을 정리하면서 (x-3)/(-2)≤4에서 양변에 -2를 곱한 뒤에도 부등호를 그대로 두고 있었다. 학생은 마지막 답만 보고 “계산 중 부호를 놓쳤다”고 말했지만, 풀이를 뒤에서부터 확인하자 결과가 틀어지기 전 최초의 선택은 음수를 곱하면서 부등호 방향을 유지한 것이었다. 그 뒤의 이항과 정리는 이 잘못된 부등식을 그대로 따른 계산이었다.
음수로 곱하거나 나누는 순간에는 부등호 방향이 바뀐다.
처음 어긋난 한 줄만 바로잡기
전체 풀이를 지우지 않고 해당 줄에 표시를 붙였다. (x-3)/(-2)≤4에서 양변에 -2를 곱하면 x-3≥-8이 되어야 한다. 따라서 x≥-5이다. 학생은 “양변에 같은 수를 곱하는 것은 같지만, 그 수가 음수이면 수직선에서 순서가 뒤집힌다”고 자신의 말로 설명했다.
이후 이미 맞았던 문자식 정리 과정은 그대로 유지했다. 또 분모를 없애는 줄에서는 양변 전체에 같은 수를 곱했는지 확인하도록 식 아래에 작은 표시를 남겼다. 양수인 수를 곱하거나 나눌 때는 부등호가 유지되고, 음수인 수를 곱하거나 나눌 때만 방향이 바뀐다는 두 경우를 문제의 해당 줄 옆에 구분해 적었다. 새로운 풀이법을 더하지 않고, 최초 판단 하나만 수정한 것이다.
식이 아닌 문장과 표로 조건을 다시 만나다
다음 문제는 식이 바로 주어지지 않았다. “입장료 3,000원을 내고, 체험 한 번마다 1,500원이 추가된다. 가진 돈이 12,000원 이하일 때 체험 횟수는 최대 몇 회인가?”라는 문장을 읽고 학생은 먼저 고정비와 횟수에 따른 비용을 따로 표시했다.
- 체험 횟수: x회
- 전체 비용: 3000+1500x
- 가진 돈 이하: 3000+1500x≤12000
학생은 식을 1500x≤9000, x≤6으로 정리한 뒤, 표의 5회·6회·7회 비용을 계산했다. 6회는 12,000원으로 조건 안에 들어가고 7회는 13,500원으로 벗어난다고 적었다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 앞에서는 분수가 있는 식에서 부호를 판단했고 이번에는 문장을 비용표로 바꾸어 ‘최대’와 ‘이하’의 방향을 연결했다.
힌트 없이 경계값을 검산한 장면
수업의 끝에는 풀이 중간을 가린 새 문제가 제시됐다. “기본 요금 2,400원에 800원짜리 항목을 x개 더할 때 총액이 7,200원보다 작아야 한다. 가능한 자연수 x의 최댓값을 구하여라.” 학생은 도움을 기다리지 않고 ‘작아야 한다’이므로 2400+800x<7200이라고 먼저 세웠다.
양변에서 2,400을 빼고 800으로 나누면 x<6이다. 학생은 “나눈 수 800은 양수라서 부등호가 바뀌지 않는다”고 이유를 말한 뒤 자연수 조건을 적용해 최댓값을 5로 정했다. 이어 경계값 6을 원래 식에 넣어 총액이 7,200원이 되어 ‘작아야 한다’는 조건에 들어가지 않음을 확인하고, 안쪽 값 5는 6,400원이라 조건을 만족한다고 검산했다. 음수를 곱하거나 나눌 때만 방향을 바꾼다는 판단을 새 문제에서도 스스로 재현한 순간이었다.