광주송정동 중등과외
광주송정동 중등과외에서 확률을 지도할 때 자주 확인하는 장면은 새 문제보다 오답을 섞어 제시했을 때 나타난다. 이미 풀었던 문제의 풀이와 비슷한 오답을 함께 놓으면, 학생은 전체 경우를 세지 않고 원하는 경우만 바로 세거나 같은 경우를 두 번 포함한다. 송광중학교와 송정중학교 학생에게도 이 단원은 계산보다 ‘무엇을 전체로 볼 것인가’를 구분하는 데서 막히는 경우가 많다.
오답을 섞었을 때 드러나는 첫 혼동
예를 들어 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있고 한 개를 뽑는 문제에서 “빨간 공이 나올 확률”을 구한다고 하자. 학생은 빨간 공 2개를 원하는 경우로 적은 뒤, 분모에도 빨간 공 2개만 적어 2/2라고 답할 수 있다. 또는 공의 색만 구분해야 하는데 같은 색의 공을 서로 다른 순서로 세어 분모를 불필요하게 늘리기도 한다.
이때 답을 곧바로 고치게 하지 않고, 기존 풀이와 새로 만든 오답을 섞어 놓는다. “어느 답이 맞는가”보다 “두 풀이가 처음 달라진 곳은 어디인가”를 먼저 찾게 한다. 첫 줄에서 전체 대상을 정하지 않았는지, 원하는 조건을 표시하는 과정에서 분모까지 바꾸었는지를 살피는 방식이다.
전체 경우와 원하는 경우를 분리하는 기준
확률의 분모는 실험에서 가능한 전체 경우를 나타내고, 분자는 그중 조건을 만족하는 경우를 나타낸다. 따라서 문제를 읽자마자 식을 세우기보다 다음 두 질문을 순서대로 확인한다.
- 아무 조건도 붙이지 않았을 때 가능한 경우는 무엇인가?
- 그 전체 중 문제에서 요구한 조건에 맞는 경우는 무엇인가?
동전을 두 번 던지는 문제라면 전체 결과는 앞뒤, 앞앞, 뒤뒤, 뒤앞처럼 네 가지다. “앞면이 한 번 나오는 경우”는 앞뒤와 뒤앞 두 가지이므로 확률은 2/4가 된다. 여기서 앞뒤와 뒤앞을 같은 경우로 처리하면 원하는 경우를 빠뜨리고, 앞면이 나오는 위치를 따로 세지 않으면 전체와 조건의 기준이 달라진다.
중요한 점은 전체 경우를 먼저 확정한 뒤 조건을 표시하는 것이다. 원하는 경우만 모아 놓고 전체를 추정하면 분모와 분자가 같은 기준에서 출발하지 않기 쉽다. 이 원칙은 주사위, 카드, 좌석 배치처럼 대상이 달라져도 그대로 적용된다.
앞뒤 정보로 오류가 시작된 위치 찾기
학생의 풀이가 틀렸을 때 마지막 답만 지우면 같은 실수가 반복될 수 있다. 풀이의 앞뒤 정보를 연결해 보면 첫 오류 지점을 좁힐 수 있다. 먼저 문제에서 정한 대상과 조건을 표시하고, 그다음 어떤 경우를 하나의 경우로 인정했는지 확인한다. 마지막으로 그 목록이 분모와 분자에 같은 기준으로 반영되었는지 비교한다.
가령 두 개의 주사위를 던져 합이 5가 되는 확률을 구할 때, 학생이 원하는 경우를 1과 4, 2와 3만 적었다면 순서를 빠뜨린 지점이 첫 오류다. 실제 결과에서는 (1,4)와 (4,1)이 다르고 (2,3)과 (3,2)도 다르다. 반대로 두 주사위의 합만을 결과로 정하기로 했다면 모든 합의 가능성을 같은 방식으로 세어야 한다. 문제의 실험 단위가 무엇인지 앞부분에서 확정해야 하는 이유다.
표로 전체를 완성한 뒤 조건 표시하기
경우의 수가 많아지면 목록을 무작정 적기보다 표를 선택할 수 있다. 두 주사위를 던지는 문제에서는 한 주사위의 눈을 가로, 다른 주사위의 눈을 세로에 두고 36칸을 만든다. 먼저 36개의 전체 경우를 빠짐없이 채운 뒤 합이 5인 칸만 표시한다. 이 과정을 거치면 원하는 경우를 먼저 세다가 분모를 잊는 문제가 줄어든다.
표를 만들 때도 중요한 것은 도구 자체가 아니다. 빈칸을 남겨 둔 채 조건에 맞는 칸만 찾지 않고, 전체 칸을 먼저 완성하는 순서가 핵심이다. 표가 지나치게 큰 문제라면 목록이나 수형도로 바꿀 수 있지만, 선택한 표현 안에서 전체를 먼저 확정해야 한다.
조건을 바꾼 독립 적용
교정이 끝난 뒤 같은 문제의 숫자만 바꾸어 다시 풀게 하면 풀이를 외운 것인지 판단하기 어렵다. 그래서 사건과 조건을 함께 바꾼다. 예를 들어 두 주사위의 합이 5가 아닌 8 이상인 경우를 묻거나, 공을 한 개 뽑는 대신 두 개를 순서 있게 뽑는 문제를 제시한다.
이때 학생은 새 상황에서 전체 경우를 먼저 정하고, 조건에 맞는 경우를 따로 표시해야 한다. 풀이 중 막히면 정답을 알려 주지 않고 “지금 적은 것은 전체인가, 원하는 경우인가”만 되묻는다. 마지막에는 새 오답을 하나 더 섞어 첫 오류가 어디서 생겼는지 스스로 지적하게 한다. 조건이 달라져도 두 집합을 분리한다면 개념을 독립적으로 적용한 것으로 볼 수 있다.
자주 묻는 내용
분모와 분자를 모두 경우의 수로 세면 항상 확률을 구할 수 있나요?
가능한 전체 경우와 조건을 만족하는 경우가 같은 기준으로 세어졌을 때만 의미가 있다. 순서가 중요한지, 각 결과가 같은 가능성을 가지는지도 함께 확인해야 한다.
같은 색 공은 서로 다른 경우로 세어야 하나요?
문제에서 결과를 색으로만 구분하는지, 공 하나하나를 구별하는지에 따라 달라진다. 분모와 분자에서 그 구분 기준을 일관되게 유지해야 한다.
표와 수형도 중 무엇이 더 좋은가요?
정답을 보장하는 특정 도구가 있는 것은 아니다. 한 단계씩 선택하거나 두 대상의 조합을 빠짐없이 나타내기 쉬운 표현을 고르고, 전체를 먼저 확인할 수 있으면 된다.
오답을 섞어 확인하는 이유는 무엇인가요?
답을 기억하는지보다 오류가 시작된 지점을 구별하는 데 목적이 있다. 새로운 조건에서도 첫 분류가 올바른지 확인할 수 있다.