광주송정동 중2수학과외
“최대”라는 말을 부등호로 옮기는 순간
광주송정동과외 수업에서 학생은 일차부등식 문제의 계산보다 문장을 식으로 바꾸는 첫 단계에서 자주 멈췄다. 문제에는 “어떤 수에 3을 더한 값이 11보다 크지 않다”라고 적혀 있었지만, 학생은 ‘크지 않다’를 잠시 지우고 계산부터 시작하려 했다. 송정중학교와 송광중학교가 포함된 생활권에서 자주 접하는 서술형 문제처럼, 이번에도 핵심은 숫자가 아니라 조건의 방향을 읽는 일이었다.
처음 적은 한 줄에서 드러난 판단
학생은 미지수를 x로 정한 뒤 문제의 식을 만들었다. “어떤 수의 2배에서 5를 뺀 값이 9보다 작거나 같다”라는 문장에서 학생은
2x-5≤9
까지는 정확히 적었다. 이어서 양변에 5를 더해 2x≤14를 만들고, 마지막에 2로 나누어 x≤7이라고 썼다. 이 문제는 올바르게 풀렸지만, 다음 문제에서 계수가 음수로 바뀌자 같은 방식으로 처리하지 못했다.
“어떤 수의 -3배에 4를 더한 값이 10보다 크지 않다”를 보고 학생은 먼저 -3x+4≤10을 세웠다. 여기까지도 맞았다. 그런데 4를 이항한 뒤 -3x≤6을 적고, 양변을 -3으로 나누면서 부등호를 그대로 두어 x≤-2라고 판단했다. 결과가 틀어진 최초의 선택은 계산 결과가 아니라 음수로 나눌 때 부등호 방향을 바꾸지 않은 것이었다.
한 가지 기준만 남긴 교정
교정할 때 이미 맞았던 미지수 설정과 이항 과정은 그대로 두었다. 학생은 식의 오른쪽 여백에 양변에 한 연산을 작게 나란히 적었다.
- -3x+4≤10
- -3x≤6 양변에 -4를 더함
- x≥-2 양변을 -3으로 나누므로 방향을 바꿈
새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 음수를 곱하거나 나누는 순간 부등호 방향을 확인한다는 기준 하나만 남겼다. 이어 학생은 경계값 -2를 원래 식에 넣었다. -3×(-2)+4=10이므로 “10보다 크지 않다”를 만족한다는 것을 확인했고, x가 -1일 때는 7이 되어 조건을 만족하지만 x가 -3일 때는 13이 되어 만족하지 않는다고 직접 비교했다. 그래서 해의 방향이 x≥-2라는 사실을 계산과 문장 양쪽에서 확인했다.
문장 대신 표와 질문을 바꿔 적용하기
이야기꽃도서관 인근 생활권을 배경으로 한 다음 문제에서는 식을 바로 주지 않았다. 어느 행사에 참가하려면 현재 모은 금액 x원에 2,500원을 더한 금액이 10,000원 이상이어야 하고, 학생이 준비할 수 있는 금액에는 최대 6,000원이라는 조건이 함께 제시되었다. 학생은 조건을 한 줄에 섞지 않고 표로 나누었다.
- 참가에 필요한 조건: x+2500≥10000
- 준비할 수 있는 최대 조건: x≤6000
첫 번째 식에서 2,500을 빼 x≥7500을 얻은 뒤, 두 조건을 함께 보면 x가 7,500 이상이어야 하지만 최대 6,000이라는 조건과 동시에 만족할 수 없다고 설명했다. 여기서는 음수로 나누는 장면이 없었지만, “최대”를 작거나 같다로 옮기고 “이상”을 크거나 같다로 옮기는 판단을 스스로 구분했다. 질문도 “가능한 금액의 범위는?”이 아니라 “두 조건을 동시에 만족하는 금액이 있는가?”로 바뀌었지만, 학생은 각 부등식을 따로 세운 뒤 겹치는 범위를 확인했다.
힌트 없이 다시 세운 판단
광주송정동중2수학과외 수업에서 한 주 뒤 학생에게 다음 문제를 새로 제시했다. “어떤 수의 -4배에서 7을 뺀 값은 1보다 크지 않다. 이 수의 범위를 구하고, -3이 조건을 만족하는지 판단하라.” 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 -4x-7≤1을 적었다. 이어 양변에 7을 더해 -4x≤8을 만들고, 음수 -4로 나누는 줄에서 부등호를 바꾸어 x≥-2라고 썼다.
학생은 풀이 이유도 직접 말했다. “최대가 아니라 ‘크지 않다’이므로 ≤를 썼고, 음수로 나누면 수의 순서가 뒤집히므로 ≥가 된다.” 마지막으로 경계값 -2를 원래 식에 대입해 1이 되는지 확인하고, -3을 대입하면 5가 되어 1보다 크므로 조건을 만족하지 않는다고 검산했다. 과거처럼 부등호를 그대로 두지 않고, 문장의 최대 조건과 음수 연산의 방향을 독립적으로 재현한 장면이었다.