광주송정동 중3수학과외

광주송정동 중3수학과외에서 확인한 완전제곱식 풀이

송광중학교와 송정중학교가 포함된 생활권에서 중3수학과외를 준비할 때도, 문제의 유형명을 먼저 떠올리기보다 식 자체의 계수와 부호를 읽는 과정이 중요합니다.

식보다 예제 순서를 먼저 믿었던 순간

학생은 다음 문제를 유형 이름 없이 시작했습니다.

x² - 6x + 5 = 0을 완전제곱식으로 바꾸어 해를 구하여라.

풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

x² - 6x + 5 = 0
x² - 6x + 9 = 0
(x - 3)² = 0
x = 3

겉으로는 x²과 -6x를 보고 3을 떠올린 뒤 제곱식을 만든 것처럼 보였지만, 처음 어긋난 곳은 계산 마지막이 아니었습니다. 학생은 양변에 9를 더할 때 원래 식의 상수항 5도 함께 처리해야 한다는 점을 확인하지 않았습니다. 즉, 해를 결정하는 계수와 부호, 원문 조건을 먼저 적지 않고 예제의 순서를 따라가며 결론을 낸 것이 최초의 판단 오류였습니다.

한 줄의 기준으로 식을 다시 세우다

교정에서는 풀이 전체를 바꾸지 않고, 가장 먼저 필요한 식과 조건만 적게 했습니다.

• x² - 6x의 x의 계수는 -6이다.
• 완전제곱식의 안쪽 수는 -6의 절반인 -3이다.
• 더한 9는 식의 한쪽에만 남기지 않고 등식 양변에 똑같이 반영한다.

학생은 원래 식에서 상수항을 먼저 오른쪽으로 옮겼습니다.

x² - 6x = -5

이제 양변에 9를 더해

x² - 6x + 9 = -5 + 9

로 정리했습니다. 따라서

(x - 3)² = 4

이고, 제곱한 식의 값이 4가 되므로

x - 3 = 2 또는 x - 3 = -2

입니다. 그러므로 x = 5 또는 x = 1입니다. 앞서 맞게 읽었던 -6의 절반이라는 판단은 그대로 유지하고, 상수항을 옮긴 뒤 양변에 같은 수를 더하는 행동 하나만 고친 것입니다.

모양이 달라진 문제에서 기준을 선택하기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아닌 다른 표현을 제시했습니다.

어떤 수 x에 대하여 x² + 8x = 9이다. 이 식을 완전제곱식으로 나타내어 x의 값을 구하여라.

이번에는 상수항이 왼쪽에 모여 있지 않고 등식의 오른쪽에 있었습니다. 학생은 먼저 x²과 8x를 표시하고, 8의 절반인 4를 사용해야 한다고 설명했습니다. 양변에 16을 더하면

x² + 8x + 16 = 9 + 16

이므로

(x + 4)² = 25

입니다. 여기서 학생은 “제곱식의 값이 25이므로 안쪽 식은 5와 -5가 될 수 있다”고 적었습니다.

x + 4 = 5 또는 x + 4 = -5

따라서 x = 1 또는 x = -9입니다. 첫 문제처럼 상수항을 왼쪽으로 옮기는 방식이 아니라, 이미 오른쪽에 있는 값을 유지한 채 양변에 필요한 수를 더했습니다. 질문이 ‘식을 나타내라’에서 ‘x의 값을 구하여라’로 바뀌었지만, 계수의 절반을 정하고 양변에 같은 수를 더해 완전제곱식을 만드는 기준은 변하지 않았습니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

한 주 뒤, 풀이 순서나 표시 방법을 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

3x² - 12x - 15 = 0을 완전제곱식을 이용하여 해결하여라.

학생은 곧바로 3으로 나누어 식을 간단히 만들었습니다.

x² - 4x - 5 = 0

그 뒤 상수항을 오른쪽으로 옮겨

x² - 4x = 5

라고 쓰고, x의 계수 -4의 절반이 -2이므로 양변에 4를 더했습니다.

x² - 4x + 4 = 5 + 4
(x - 2)² = 9

이어서 x - 2 = 3 또는 x - 2 = -3을 얻어 x = 5 또는 x = -1이라고 답했습니다. 마지막에는 두 값을 원래 방정식에 각각 대입했습니다.

• x = 5일 때: 3×25 - 12×5 - 15 = 75 - 60 - 15 = 0
• x = -1일 때: 3×1 - 12×(-1) - 15 = 3 + 12 - 15 = 0

학생은 “완전제곱식 안의 수는 x의 계수 절반이고, 더한 수는 양변에 함께 반영해야 하며, 얻은 값은 원래 식에 넣어 확인했다”고 설명했습니다. 도움 없이 같은 기준을 선택하고, 두 해가 실제 원문을 만족하는지까지 검산한 장면이었습니다.