작전동 중3수학과외

작전중학교가 포함된 생활권에서 살펴본 직각삼각형의 변 구별

작전동과외 수업에서 주말 복습 기록을 함께 펼쳤습니다. 작전동중3수학과외에서 다룬 범위는 하나입니다. 직각삼각형에서 기준각에 따라 대변과 인접변을 구별하는 것입니다.

학생이 먼저 적은 풀이

문제에는 직각삼각형 ABC가 있고, ∠B=90°, ∠A=30°라고 되어 있었습니다. 변의 길이는 BC=6, AC=10, AB=8로 표시되어 있었고, 그림에서 ∠A 옆에 작은 표시가 있었습니다. 학생은 문제를 읽자마자 다음처럼 적었습니다.

“빗변은 BC, 대변은 AB, 인접변은 AC이다.”

이후 학생은 “기준각 A에서 마주 보는 변이 AB이므로 대변, 기준각 옆의 긴 변이 AC이므로 인접변”이라고 설명했습니다. 길이 계산은 하지 않았지만, 변의 역할을 정한 뒤 문제의 빈칸에 그대로 옮겨 적었습니다. 이 기록에서 중요한 점은 학생이 세 변의 위치를 전혀 보지 않은 것이 아니라, 예전에 풀었던 그림의 순서를 떠올려 이름을 붙였다는 것입니다.

틀어진 순간은 기준각을 확인하기 전이었다

최종 답을 잘못 쓴 것보다 먼저 어긋난 판단은 기준각 A를 실제 그림에서 다시 표시하지 않고, 예제에서 보았던 변 이름의 배열을 그대로 적용한 것이었습니다. 기준각이 A라면 A와 마주 보는 변은 BC입니다. 따라서 대변은 BC가 되어야 합니다. 또 직각 표시가 있는 B의 맞은편 변 AC가 빗변입니다. 남은 AB는 기준각 A에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 인접변입니다.

즉 이 문제의 세 변은 다음처럼 정리됩니다.

• 기준각: ∠A
• 직각의 맞은편 변: AC → 빗변
• 기준각과 마주 보는 변: BC → 대변
• 기준각에 붙어 있고 빗변이 아닌 변: AB → 인접변

학생이 쓴 “AC가 인접변”이라는 문장은 AC가 기준각 A에 닿아 있는 것처럼 보인 데서 나온 판단이었습니다. 그러나 AC는 직각의 맞은편이므로 먼저 빗변으로 확정해야 합니다.

한 가지 표시만 바꾸어 다시 읽기

풀이 전체를 지우게 하지 않고, 첫 줄에 기준각을 표시하는 행동만 고쳤습니다. 문제를 받으면 숫자나 변 이름을 보기 전에 기준각 옆에 동그라미를 치고, 직각 표시가 있는 꼭짓점도 따로 표시하도록 했습니다. 학생은 같은 그림에 ∠A를 동그라미로 감싼 뒤 다음 순서로 다시 적었습니다.

1. 직각 B의 맞은편인 AC를 빗변으로 표시한다.
2. 기준각 A의 맞은편인 BC를 대변으로 표시한다.
3. 기준각 A에 붙은 두 변 중 빗변이 아닌 AB를 인접변으로 표시한다.

앞서 맞게 읽었던 ∠B=90°와 변의 길이 6, 10, 8은 그대로 두고, 세 변의 이름만 바로잡았습니다. “기준각을 먼저 표시하면 예제의 그림 순서와 상관없이 다시 판단할 수 있다”는 한 문장으로 교정을 정리했습니다.

그림의 방향이 바뀌자 판단 기준이 드러났다

다음에는 같은 모양을 옆으로 돌린 그림을 제시했습니다. 삼각형 PQR에서 ∠Q=90°이고, 기준각은 ∠R였습니다. 그림에서는 RP가 가장 긴 변으로 표시되어 있었지만, 학생에게 길이 순서를 먼저 말하지 않고 세 변의 역할만 쓰게 했습니다.

학생은 먼저 ∠R에 표시한 뒤, Q의 맞은편인 RP를 빗변으로 정했습니다. 이어 R과 마주 보는 PQ를 대변으로, R에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 RQ를 인접변으로 적었습니다. 이번에는 그림이 회전되어 있어도 “가장 위에 있는 변”이나 “예제에서 두 번째로 적은 변”을 기준으로 삼지 않았습니다. 기준각에서 선을 그어 마주 보는 변을 확인하고, 직각의 맞은편을 빗변으로 확정한 뒤 남은 변을 정했습니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

일주일 뒤, 별도의 유형명이나 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=90°이고, 기준각은 ∠Z입니다. 그림에는 XY=9, YZ=12, XZ=15가 적혀 있었지만, 질문은 “기준각 Z에서 각 변의 역할을 설명하시오”였습니다.

학생은 숫자부터 계산하지 않고 ∠Z에 표시했습니다. 그런 다음 “직각 Y의 맞은편 XZ가 빗변이다. 기준각 Z의 맞은편 XY가 대변이다. 기준각 Z에 붙어 있지만 빗변이 아닌 YZ가 인접변이다”라고 설명했습니다. 마지막으로 손가락으로 ∠Z에서 출발해 마주 보는 변이 XY인지 확인하고, XZ가 직각의 맞은편인지 다시 대조했습니다.

검산 근거도 역할별로 분명했습니다. 대변은 기준각에 닿지 않아야 하고, 인접변은 기준각에 닿되 빗변이면 안 되며, 빗변은 반드시 직각의 맞은편이어야 한다는 세 조건을 스스로 말했습니다. 기준각의 위치가 달라져도 이 기준으로 변의 이름을 다시 정할 수 있다는 점까지 확인한 장면입니다.