작전동 중1수학과외
표의 한 칸에서 시작한 반비례 관계 풀이
작전동의 광명아파트와 뉴서울아파트가 있는 생활권, 작전중학교가 포함된 주변에서 중1수학과외를 진행하며 한 학생의 풀이를 살펴보았다. 이번 문제의 핵심은 두 양의 곱이 일정한 반비례 관계였다.
일정한 거리를 일정한 속력으로 이동할 때 걸리는 시간은 속력에 따라 달라진다. 속력이 시속 6km이면 5시간이 걸린다면, 속력이 시속 10km일 때 걸리는 시간은 얼마인가?
학생은 문제를 읽고 표를 만들었다.
| 속력 | 6 | 10 |
|---|---|---|
| 시간 | 5 | x |
그 뒤 공책에 6＋5＝10＋x라고 적었다. 숫자들이 표에 나란히 놓였다는 이유로 더하기 관계를 먼저 떠올린 것이다. 계산하면 x＝1이지만, 이 값은 실제로 속력이 커졌는데 시간도 줄어야 한다는 관계와 맞지 않는다. 결과가 틀린 시점은 계산 과정이 아니라, 두 양이 어떤 방식으로 대응하는지 확인하기 전에 덧셈식을 세운 순간이었다.
첫 식을 다시 세우는 교정
학생에게 정답을 알려 주는 대신 표의 각 열을 세로로 읽게 했다. 속력 6에 시간 5가 대응하고, 두 수를 곱하면 30이 된다. 반비례 관계에서는 속력이 달라져도 대응하는 두 양의 곱이 일정하므로, 두 번째 열도 다음처럼 써야 한다.
6×5＝10×x
양변이 같은 수라는 등식의 형태를 유지한 채 30＝10x, x＝3으로 정리했다. 이후 “속력이 6에서 10으로 커졌으니 시간은 5보다 작아져야 한다”라고 풀이 옆에 적었다. 이 한 줄은 계산 결과를 관계의 방향과 연결해 보는 근거가 되었다. 처음 표를 만든 과정과 계산 방식은 유지하고, 덧셈으로 연결했던 판단만 곱셈 관계로 바꾼 것이다.
문장을 표와 식으로 바꾸어 읽기
다음 문제에서는 표현을 바꾸었다.
같은 양의 물을 여러 병에 나누어 담는다. 한 병에 4컵씩 담으면 9병이 필요하다. 한 병에 6컵씩 담으면 몇 병이 필요한가?
학생은 이번에는 바로 계산하지 않고, 먼저 “한 병에 담는 컵 수”와 “필요한 병 수”를 두 양으로 분리했다. 표에는 4와 9를 한 열에, 6과 y를 다른 열에 놓았다. 그리고 문제의 ‘같은 양’이라는 조건을 근거로 4×9＝6×y라고 설명했다. 이는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 이동 속력과 시간의 관계를 물의 양과 병 수의 관계로 옮겨 읽은 경우였다. y＝6을 구한 뒤에는 6×6＝36, 처음 열도 4×9＝36이라고 적어 곱이 같음을 확인했다.
표를 식으로 바꾸는 데서 멈추지 않고 질문의 방향도 바꾸었다. “병 수를 6개로 정하면 한 병에 몇 컵씩 담아야 하는가?”라고 다시 물어 보자, 학생은 한 병의 컵 수를 z로 두고 4×9＝z×6이라고 썼다. 구한 z＝6을 원래 물의 양 36에 넣어 확인하면서, 미지수가 어느 양인지에 따라 식의 자리가 달라질 뿐 곱이 일정하다는 사실은 같다고 설명했다.
표, 식, 그래프 사이의 확인
이어서 도움말을 가린 상태에서 표를 직접 만들었다.
| 한 봉지의 무게 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|
| 봉지 수 | 24 | 12 | 3 |
학생은 8과 3을 곱한 값이 24가 되지 않는다는 점을 발견하고, 표의 마지막 대응값을 6으로 고쳤다. 그 뒤 각 열을 계산해 2×24＝4×12＝8×6＝48이라고 적었다. 좌표평면에 점을 나타내라는 질문에는 가로축을 한 봉지의 무게, 세로축을 봉지 수로 정하고 (2,24), (4,12), (8,6)을 순서대로 표시했다. 점을 찍는 것보다 먼저 축의 의미와 좌표의 순서를 확인해야 한다는 이유도 덧붙였다.
작전동과외 수업에서 학생은 표를 식으로 옮길 때 주어진 값과 구하려는 값을 따로 표시하고, 문장으로 돌아올 때는 “전체 무게가 48로 일정하다”라고 다시 표현했다. 작전동중1수학과외의 독립 확인에서는 프린트의 풀이를 가린 뒤 새 조건을 제시했다.
한 줄에 3명씩 서면 8줄이 필요하다. 같은 학생이 한 줄에 4명씩 서면 몇 줄이 필요한가?
학생은 힌트 없이 전체 학생 수를 3×8＝24로 정하고, 4×n＝24에서 n＝6을 구했다. 이어 표에 (3,8), (4,6)을 적고 두 대응값의 곱이 모두 24인지 확인했다. 마지막으로 “한 줄에 서는 사람 수가 늘면 줄 수는 줄지만, 두 수의 곱은 변하지 않기 때문에 4×6을 사용했다”라고 스스로 설명했다. 첫 문제에서 덧셈식으로 시작했던 판단을 다시 반복하지 않고, 새로운 문장과 표에서도 반비례 관계의 첫 식과 검산 근거를 독립적으로 세운 장면이었다.