작전동 고2수학과외







기댓값 0이라는 조건에서 출발하기
서술형 답안에서 “기대수익이 0이 되는 참가비를 구하라”는 조건을 먼저 확인했다. 작전동과외 수업에서는 상금의 기댓값과 참가비를 따로 계산한 뒤, 마지막에 순이익으로 연결하는 습관을 강조했다.
어떤 게임에서 참가자는 4분의 1의 확률로 8,000원을 받고, 4분의 3의 확률로 2,000원을 받는다. 참가비를 c원이라 할 때 공정한 게임이 되는 참가비를 구해 보자.
상금만 계산했을 때의 값
상금의 기댓값은 다음과 같다.
8,000 × 1/4 + 2,000 × 3/4 = 2,000 + 1,500 = 3,500
따라서 참가비를 고려하지 않으면 평균적으로 3,500원을 받는다고 판단하게 된다. 그러나 문제에서 묻는 것은 받는 금액이 아니라 참가자의 순이익이다.
순이익 확률변수로 다시 표현하기
참가비가 c원일 때 순이익 확률변수 X를 만들면 다음과 같다.
| 상금 | 순이익 X | 확률 |
|---|---|---|
| 8,000원 | 8,000 − c | 1/4 |
| 2,000원 | 2,000 − c | 3/4 |
따라서 순이익의 기댓값은
E(X) = (8,000 − c) × 1/4 + (2,000 − c) × 3/4
= 3,500 − c
공정한 참가비 구하기
공정한 게임은 장기적으로 참가자의 평균 순이익이 0이 되는 게임이다. 그러므로
3,500 − c = 0
에서 c = 3,500을 얻는다.
처음 풀이와 교정된 풀이 비교
처음 풀이: 상금의 기댓값이 3,500원이므로 참가비도 3,500원이라고 적었다.
교정된 풀이: 상금의 기댓값은 3,500원이고, 순이익은 상금에서 참가비를 뺀 값이다. 따라서 E(X)=3,500−c로 두고, 공정 조건 E(X)=0을 적용하여 참가비가 3,500원임을 구한다.
참가비가 3,500원일 때 가능한 순이익은 각각 4,500원과 −1,500원이다. 이를 이용해 다시 계산하면
4,500 × 1/4 + (−1,500) × 3/4 = 1,125 − 1,125 = 0
이므로 계산과 공정성 조건이 모두 일치한다.