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작전동 고2수학과외

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기댓값 0이라는 조건에서 출발하기

서술형 답안에서 “기대수익이 0이 되는 참가비를 구하라”는 조건을 먼저 확인했다. 작전동과외 수업에서는 상금의 기댓값과 참가비를 따로 계산한 뒤, 마지막에 순이익으로 연결하는 습관을 강조했다.

어떤 게임에서 참가자는 4분의 1의 확률로 8,000원을 받고, 4분의 3의 확률로 2,000원을 받는다. 참가비를 c원이라 할 때 공정한 게임이 되는 참가비를 구해 보자.

상금만 계산했을 때의 값

상금의 기댓값은 다음과 같다.

8,000 × 1/4 + 2,000 × 3/4 = 2,000 + 1,500 = 3,500

따라서 참가비를 고려하지 않으면 평균적으로 3,500원을 받는다고 판단하게 된다. 그러나 문제에서 묻는 것은 받는 금액이 아니라 참가자의 순이익이다.

순이익 확률변수로 다시 표현하기

참가비가 c원일 때 순이익 확률변수 X를 만들면 다음과 같다.

상금 순이익 X 확률
8,000원 8,000 − c 1/4
2,000원 2,000 − c 3/4

따라서 순이익의 기댓값은

E(X) = (8,000 − c) × 1/4 + (2,000 − c) × 3/4

= 3,500 − c

공정한 참가비 구하기

공정한 게임은 장기적으로 참가자의 평균 순이익이 0이 되는 게임이다. 그러므로

3,500 − c = 0

에서 c = 3,500을 얻는다.

처음 풀이와 교정된 풀이 비교

처음 풀이: 상금의 기댓값이 3,500원이므로 참가비도 3,500원이라고 적었다.

교정된 풀이: 상금의 기댓값은 3,500원이고, 순이익은 상금에서 참가비를 뺀 값이다. 따라서 E(X)=3,500−c로 두고, 공정 조건 E(X)=0을 적용하여 참가비가 3,500원임을 구한다.

참가비가 3,500원일 때 가능한 순이익은 각각 4,500원과 −1,500원이다. 이를 이용해 다시 계산하면

4,500 × 1/4 + (−1,500) × 3/4 = 1,125 − 1,125 = 0

이므로 계산과 공정성 조건이 모두 일치한다.

작전동 고2수학과외 학부모 후기

방학 첫 주라 오후 수업 준비물을 챙기다가 시험지를 펼쳐 보게 됐어요. 한쪽 귀퉁이에 검산할 문제 번호만 따로 적혀 있더라고요. 문제를 풀고 끝낸 게 아니라, 마지막에 다시 볼 것만 골라 둔 흔적이라 눈에 띄었습니다. 예전에는 틀린 문제를 확인하고도 어디를 다시 살필지는 정하지 않았거든요. 오답 표시만 남아 있거나 답지를 본 뒤 그대로 넘어가는 경우가 많았는데, 이번에는 확인할 순서를 자기 손으로 구분해 놓았어요. 작전동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 계속 생각났습니다. 교재를 꺼내던 다음 수업 전에는 앞서 적어 둔 표시를 없애지 않은 채, 뒤쪽에서 검산할 번호를 또 따로 모아 두었어요. 처음 남긴 흔적과 새로 정리한 번호가 한 페이지에 함께 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

다음 날 시간표를 확인하던 밤, 아이가 문제를 바로 덮지 않고 마지막 계산 결과를 한 번 더 들여다보더라고요. 처음 적어 놓은 계산 줄과는 다른 방식으로 확인하는 모습이라 저도 잠깐 옆에서 보게 됐어요. 전에는 공부가 끝나면 문제지에 남은 표시만 보고 지나간 것처럼 보여서, 무엇을 다시 살폈는지 알기 어려웠거든요. 작전동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 보이는 이런 장면도 유심히 보게 됐는데, 답을 맞혔는지만 확인하는 모습과는 조금 달랐어요. 처음 계산을 그대로 반복한 게 아니라 마지막 결과를 다른 방법으로 다시 짚어 본 점이 눈에 들어왔습니다. 다음 주말 책상을 정리할 때도 비슷한 장면이 있더라고요. 문제를 전부 다시 펼친 건 아니고, 마지막 결과를 확인할 부분만 골라 처음과 다른 방법으로 살펴보더라고요. 확인할 곳 하나만 남겨 둔 채 나머지 문제는 정리하는 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

모의고사 해설지를 펼치기 전에 아이가 검산이 필요한 문제만 따로 표시해 둔 게 먼저 눈에 띄었어요. 해설을 읽고 끝내는 게 아니라, 나중에 다시 확인할 부분을 자료에 남겨 두었더라고요. 답이 맞았는지보다 검산 여부를 따로 보고 있다는 점이 의외로 눈에 들어왔어요. 공부 계획표를 새로 적던 저녁에도 비슷한 장면을 봤습니다. 답은 맞았지만 검산하지 않은 문제만 접어서 한쪽에 모아 두고 있었거든요. 예예전에는 공부를 마치면 풀이를 다시 살피는 모습이 거의 없어서 답만 맞으면 넘어가는 줄 알았어요. 이번에는 맞힌 문제 중에서도 확인이 덜 된 것만 골라 표시해 둔 상태였습니다. 작전동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 제가 떠올린 건 바로 그 종이였고, 마지막까지 남은 건 검산할 문제 옆에 적힌 작은 표시였어요.

★★★★★학부모 후기

학기 중간쯤 작전동에서 수학 과외를 시작했는데, 아이는 아는 문제도 답이 맞는지 여러 번 확인하느라 한 문제에 오래 머무는 편이었습니다. 선생님은 어려운 문제 뒤에 부담 없이 풀 수 있는 문제를 섞고, 아이가 스스로 이어갈 시간을 주면서 다음 주 계획도 함께 조율했습니다. 옆에서 지켜보니 수업 후 “이번엔 내가 풀었다”는 표정이 조금씩 늘어 부모로서 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 직전 주말, 아이가 작전동 수업에서 모르는 문제를 답지부터 찾지 않고 선생님께 먼저 물어보는 모습이 기억에 남았습니다. 선생님은 조급해하는 반응을 살피며 같은 내용을 다른 말로 차분히 설명하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 부분을 나누어 안내해 주셨습니다. 학교에서 돌아와 가방을 내려놓은 뒤 숙제를 시작하는 시간도 조금씩 짧아져 부모로서 안심이 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 저녁에도 아이가 작전동 수업을 앞두고 먼저 책상에 앉는 모습이 기억에 남았습니다. 완벽하게 하려다 미루던 아이에게 선생님은 할 수 있는 문제부터 풀게 하며 부담을 덜어 주셨고, 모르는 부분도 편하게 질문하도록 기다려 주셨습니다. 몇 차례 지나자 틀린 답을 보고 바로 포기하지 않고 한 번 더 살펴보는 습관이 생겨 성적보다 반가운 변화를 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기