작전동 고1수학과외







작전동 고1수학과외, 조합을 배열과 구분한 풀이 기록
작전동에서 고1 수학 문제를 풀던 학생은 5명 중 3명을 뽑는 경우의 수를 구하면서 선택 순서를 따로 세었다. 홍, 민, 수를 고른 경우와 수, 홍, 민을 고른 경우를 서로 다른 경우로 처리해 답을 60으로 적은 것이 첫 오류였다.
자리 배치가 아닌 선택이라는 뜻부터 확인하다
이 문항의 핵심은 뽑힌 사람의 순서가 결과에 영향을 주는지 판단하는 일이었다. 학생은 각 선택 묶음이 여러 번 세어졌다는 점을 확인하고, 3명을 고르는 조합에서는 순서를 고려하지 않는다고 풀이 옆에 적었다.
조합은 선택된 대상의 순서를 구별하지 않으므로, 같은 3명이면 하나의 경우로 센다.
따라서 경우의 수는
5C3 = 5!/(3!·2!) = 10
으로 정리된다. 계산식만 고친 것이 아니라, 왜 3!으로 나누는지 중복된 배열을 제거하는 과정과 연결해 기록했다.
질문의 표현을 바꾸어 적용하다
이번에는 “5명 중 회장과 부회장을 포함해 3명의 대표를 정한다”는 조건으로 바꾸었다. 대표 3명만 고르는 단계는 조합이지만, 그중 회장과 부회장을 정하는 단계에서는 순서가 생긴다. 학생은 먼저 5C3으로 대표 후보를 고른 뒤, 선택된 3명 중 회장·부회장을 정하는 3P2를 곱해
5C3 × 3P2 = 10 × 6 = 60
으로 계산했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 같은 선택 안에 조합과 배열이 함께 포함될 수 있음을 확인한 사례였다.
역문제로 선택 구조를 확인하다
마지막에는 “5명 중 3명을 뽑은 결과가 10가지일 때, 순서를 고려하지 않은 선택인가?”를 거꾸로 판단하게 했다. 5P3은 60이고 5C3은 10이므로, 결과가 10가지라면 순서를 구별하지 않은 조합으로 해석하는 것이 맞다.
학생은 새로운 숫자를 대입하지 않고 조합과 순열의 결과 구조를 비교해, 답의 크기만으로도 순서 포함 여부를 점검했다. 이후 비슷한 문항에서도 먼저 선택인지 배열인지 구분한 뒤 계산식을 정하도록 풀이 기준을 세웠다.