완산구 전주성심여자고등학교 수학과외
두 점에서 같은 거리를 나타내는 공간의 위치
전주성심여자고등학교 학생은 문제의 그림에서 두 점과 일정한 관계를 이루는 공간점을 먼저 표시했다. 삼천개나리아파트 인근에서 진행한 수업에서도 그림을 보자마자 관련 위치를 점과 선으로 구분했지만, 표시된 후보가 조건을 항상 만족하는지는 따로 확인해야 했다.
후보를 찾은 뒤 반례를 놓친 장면
처음에는 두 점에서 같은 거리에 있어 보이는 후보를 골라 답으로 정리했다. 그러나 그 후보가 실제로 두 점까지의 거리를 같게 만드는지 계산하거나 다른 위치와 비교하지 않아, 조건을 만족하지 않는 점 하나를 정답으로 확정했다. 풀이를 다시 살펴보니 문제는 단순히 그림에서 가까워 보이는 위치를 찾는 것이 아니라, 두 점까지의 거리가 같다는 판단 기준을 끝까지 유지하는 데 있었다.
거리 조건을 다른 말로 바꾸어 확인하기
교정할 때는 표시된 후보를 고르는 대신 두 점을 잇는 선분의 중점을 먼저 생각하게 했다. 공간에서 두 점까지의 거리가 같은 점들의 자취는 그 선분의 중점을 지나고 선분에 수직인 평면으로 설명할 수 있다. 따라서 그림의 한 점이 그 평면 위에 있는지, 또는 두 점까지의 거리 제곱이 같은지를 확인해야 한다.
두 점에서 같은 거리에 있는 공간점은 두 점을 잇는 선분의 수직이등분평면 위에 놓인다.
이후에는 기존 식이나 그림의 표시를 그대로 따라 하지 않고, 한 조건은 유지하되 다른 표현으로 제시된 문항에서 두 점까지의 거리 관계식을 직접 세웠다. 후보의 위치가 달라져도 두 거리의 제곱을 비교해 같음을 확인한 뒤 답을 결정했다.
그림 없이도 조건을 판별한 최종 확인
마지막에는 수치를 주지 않고 일반적인 두 점과 공간점의 관계만 제시했다. 학생은 두 점을 잇는 선분의 중점을 기준으로 수직인 평면을 설명하고, 그 평면 위의 임의의 점에서 두 점까지의 거리가 같다고 정리했다. 또한 평면 밖의 점은 두 거리 중 하나가 더 커질 수 있으므로 조건을 만족한다고 단정할 수 없다고 덧붙였다. 후보를 고르는 데서 멈추지 않고, 조건을 제거했을 때 결과가 달라지는 이유까지 설명하며 판단 기준을 스스로 검증했다.