금암동 전북대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외

전북대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외, 생략된 과정에서 극한의 조건을 되짚은 기록

전북대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외 수업에서 결과만 제시되고 중간 과정은 빠진 극한 문제를 살펴보았다. 문제에는 경계점을 기준으로 식이 달라지는 상황이 제시되어 있었고, 최종적으로 어떤 값이 정해진다는 내용만 드러나 있었다. 학생에게 필요한 것은 복잡한 계산을 늘리는 일이 아니라, 그 경계점에서 함수가 어느 방향으로 다가갈 때 같은 결과를 내는지 판단하는 일이었다.

학생은 문제의 조건을 다시 읽으며 판단에 직접 필요한 값만 별도 줄에 옮겨 적었다. 경계점의 왼쪽에서 접근할 때 확인할 값과 오른쪽에서 접근할 때 확인할 값을 나누어 적은 뒤, 이미 제시된 결과와 연결하려 했다. 문제 전체를 처음부터 다시 전개하기보다 좌우에서 접근하는 값에 시선을 모은 점은 풀이의 방향을 좁히는 데 도움이 되었다.

첫 답안에서 달라진 범위

그런데 첫 계산을 마친 뒤 조건을 다시 확인하는 과정에서 한쪽 방향의 값을 계산에 반영하지 않은 흔적이 드러났다. 학생은 한쪽 식에서 얻은 결과를 중심으로 범위를 정했지만, 경계점 반대편에서 접근할 때의 값은 함께 비교하지 않았다. 그래서 계산 자체가 전부 틀린 것은 아니었으나, 좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재한다는 판단에 필요한 조건 하나가 빠지면서 첫 결과의 범위가 달라졌다.

답안에는 특정 방향에서 얻은 값이 자연스럽게 정리되어 있었기 때문에 누락이 바로 눈에 띄지는 않았다. 하지만 극한의 존재 여부를 묻는 상황에서는 한쪽 계산만으로 결론을 확정할 수 없었다. 학생은 결과를 고치는 데 집중하기보다, 어떤 방향의 접근값이 답에서 빠졌는지를 찾아 처음 판단이 좁아진 지점을 확인했다.

경계점 양쪽을 나란히 다시 읽다

교정에서는 기존 풀이의 앞부분을 그대로 유지했다. 이미 정리한 식을 모두 지우지 않고, 경계점 왼쪽의 식과 오른쪽의 식을 별도로 나누어 적었다. 각 식에 해당하는 방향을 표시한 뒤 왼쪽에서 다가갈 때의 극한값을 다시 계산하고, 이어 오른쪽에서 다가갈 때의 극한값을 계산했다.

두 값이 나온 뒤에는 어느 쪽이 더 자연스러운지 추측하지 않고 서로 같은지 직접 비교했다. 같다면 그 조건 아래에서 극한이 존재한다고 판단하고, 다르다면 처음 얻은 결과를 그대로 사용할 수 없다는 식으로 결론을 나누었다. 수정된 답안에서는 빠져 있던 한쪽 접근값이 함께 들어가면서 판단의 근거가 양쪽 모두에 걸쳐 정리되었다.

이후 전북대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외에서 비슷한 형식의 새 문항을 제시했다. 기본적인 조건은 유지하되 숫자만 달라졌고, 앞선 문제처럼 과정이 자세히 안내되지 않았다. 학생은 이전 답안이나 표시를 보지 않은 상태에서 문제의 경계점을 찾고, 어느 식이 왼쪽 접근에 해당하는지와 어느 식이 오른쪽 접근에 해당하는지를 새 조건에 맞춰 직접 구분했다.

새 조건에서의 독립적인 적용

이번에는 한쪽 식에서 계산한 값만으로 범위를 정하지 않았다. 두 방향의 접근값을 각각 구한 뒤, 극한이 존재하기 위해 필요한 관계를 판단 기준으로 삼았다. 숫자가 달라졌지만 학생은 계산 결과의 크기에 끌려가지 않고, 좌우의 값이 일치하는지부터 확인한 다음 주어진 문항의 요구에 맞는 값을 선택했다.

답을 정한 뒤에는 계산 과정을 한 번 더 늘리지 않고 결과를 별도로 점검했다. 경계점에 가까워지는 모습을 왼쪽과 오른쪽으로 나누어 다시 읽으면서, 앞에서 구한 좌극한과 우극한이 실제로 같은지 확인했다. 두 접근값이 일치하는 것이 답안의 조건과 맞물려 있음을 재확인한 뒤에야 최종 결론을 남겼고, 이번에는 한쪽 결과만으로 범위를 정하는 일 없이 양쪽 접근값을 근거로 판단이 마무리되었다.