서북구 천안업성고등학교 수학과외
경우의 수를 세기 전에 확인한 조건
천안업성고등학교 학생과 문제를 풀던 중, 계산 자체보다 먼저 확인해야 할 조건을 놓쳐 답이 달라지는 장면이 나왔다. 문제는 여러 결과가 동일하게 가능한 상황에서 특정 사건의 확률을 구하는 유형이었다. 학생은 식을 곧바로 계산하지 않고, 먼저 ‘전체 경우 중 사건에 해당하는 경우의 비율’이라는 확률식을 별도 줄에 옮겨 적었다.
식의 방향은 맞았지만, 항의 순서를 바꾸어 정리하는 과정에서 이미 세어 둔 경우를 다시 섞었다. 그 결과 적용할 식은 선택했는데도 직전 단계의 값을 그대로 가져와 중간식이 현재 조건과 맞지 않았다. 계산 결과만 보면 자연스러워 보여 오류가 시작된 줄을 바로 찾기 어려운 상태였다.
직전 줄의 값만 다시 세어 본 과정
학생에게 틀린 중간값을 지우게 한 뒤, 다음 계산으로 넘어가지 않고 바로 앞 식에서 필요한 값만 다시 표시하게 했다. 전체 경우의 수와 사건에 해당하는 경우의 수를 각각 구분해 적고, 확률을 사건에 해당하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수로 다시 구성했다. 예를 들어 전체 경우가 12가지이고 사건에 해당하는 경우가 3가지라면 확률은 3/12=1/4로 정리해야 하며, 두 수의 위치를 바꾸면 다른 결과가 된다는 점도 함께 확인했다.
동일하게 가능한 경우에서의 사건 확률은 사건에 해당하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이다.
조건의 순서를 바꾼 문제에서 다시 구성하기
이후에는 전체 경우와 사건 조건이 문제의 앞뒤에 섞여 제시된 문제를 사용했다. 학생은 문장을 읽은 순서대로 숫자를 옮기지 않고, 먼저 전체 결과를 나타내는 정보와 사건에 해당하는 결과를 나타내는 정보를 따로 추렸다. 그런 다음 두 경우의 수를 다시 세어 확률식의 분자와 분모에 배치하고, 중간값을 이전 문제에서 가져오지 않은 채 풀이를 완성했다.
이번에는 조건의 제시 순서가 달라졌는데도 필요한 경우만 골라 식을 세웠고, 사건의 경우가 전체 경우보다 클 수 없다는 점까지 확인하며 답의 범위를 점검했다.
결론에서 출발해 풀이를 거슬러 확인한 장면
마지막에는 새로운 계산을 시키기보다 학생이 낸 최종 확률에서 시작해 역순으로 설명하게 했다. 왜 그 수가 분자에 들어갔는지, 전체 경우의 수는 어느 조건에서 나왔는지, 처음 문제의 동일 가능성 조건이 왜 이 비율을 사용할 근거가 되는지를 차례로 되짚었다. 학생은 중간값을 단순히 이어 붙이지 않고 각 수가 나온 조건까지 연결해 설명했고, 경우의 수를 잘못 가져오면 최종 결론도 달라진다는 점을 스스로 확인했다.