동남구 천안중앙고등학교 수학과외
배열 결과와 선택 결과를 가르는 첫 판단
천안중앙고등학교 학생과 중복이 허용되는 경우의 수 문제를 풀 때, 학생은 식 옆에 ‘순서가 결과를 바꾸는가’를 짧게 적고 문제의 조건부터 표시했다. 하지만 표시만으로는 어떤 대상들을 같은 기준으로 묶어야 하는지 바로 결정하지 못해 첫 계산 앞에서 자주 멈췄다.
첫 항의 구분이 다음 계산까지 바꾼 장면
처음 풀이에서는 중복순열과 중복조합을 구분해야 하는 한 항을 잘못 판단했다. 그 결과 바로 다음 줄의 계수와 계산 결과도 함께 달라졌다. 학생은 순서가 다른 배치가 서로 다른 결과로 취급되는지, 아니면 같은 종류를 고르는 과정인지 확인하지 않은 채 메모에만 의존하고 있었다.
교사는 틀린 첫 줄을 지우지 않고 남긴 뒤, 그 아래에 “배열 순서가 달라지면 다른 경우인가?” 또는 “선택한 개수만 같으면 같은 경우인가?”라는 기준을 적게 했다. 이후 해당 항을 중복순열로 볼 때와 중복조합으로 볼 때의 차이를 확인하고, 첫 줄부터 다음 식까지 끊지 않고 다시 연결했다.
중복이 가능하다는 사실보다 먼저, 순서를 바꾼 결과를 서로 다르게 세는지를 판단해야 한다.
계수와 수치가 바뀐 새 문항에서의 선택
며칠 뒤 청수지구에서 이동해 수업에 참여한 학생에게는 이전 문제와 계수와 수치가 모두 다른 문항을 제시했다. 답안이나 앞서 적은 계산을 보지 않은 상태에서 학생은 먼저 결과가 배열인지 선택인지 확인하고, 순서가 결과에 영향을 주는 부분과 그렇지 않은 부분을 나누어 식을 세웠다.
이번에는 첫 줄에서 판단한 기준을 다음 계산에도 그대로 유지했다. 단순히 기호를 외워 고른 것이 아니라, 두 대상의 순서를 바꾸었을 때 새로운 경우가 되는지를 근거로 중복순열과 중복조합을 구분했다.
숫자 없이 판단 기준을 점검한 풀이
마지막에는 계산 결과를 다시 구하는 대신, 학생이 자신의 풀이에서 순서 유무를 판단한 줄을 직접 표시했다. 이어 중복이 허용되는 상황에서도 순서를 구분하면 중복순열, 순서를 구분하지 않고 개수만 선택하면 중복조합으로 처리한다고 설명했다. 어떤 숫자나 계수를 외운 답이 아니라, 실제 풀이의 첫 판단이 어디에 사용됐는지 확인하며 개념의 적용 여부를 점검했다.