동남구 목천고등학교 수학과외
목천고등학교 학생과 진행한 한 조합 문제에서 핵심은 계산 자체보다 여사건을 언제 선택할지 판단하는 일이었습니다. 여러 조건이 이어진 문항에서 학생은 먼저 풀이 순서를 번호로 나누고, 직접 적어 둔 단계 중 ‘전체 경우에서 조건을 어기는 경우를 빼는 방식’을 적용할 위치를 표시했습니다.
전체 경우를 세기 전에 확인한 조건
학생은 예를 들어 8명 중 3명을 뽑을 때 적어도 한 명이 특정 모임에 속하는 경우처럼, 직접 조건을 만족하는 경우보다 조건을 어기는 경우가 단순할 때 여사건을 쓰기로 했습니다. 전체 경우를 기호로 두고, 조건을 어기는 경우를 제외하는 순서까지는 끊김 없이 진행했습니다.
하지만 뺄셈을 마친 뒤 그 결과가 어떤 조건에서만 성립하는지 확인하는 단계에서 멈췄습니다. 계산값이 나왔다는 이유만으로 답을 확정했고, 제외한 경우가 실제로 원래 조건을 어기는 경우인지, 전체 경우에 빠짐없이 포함되어 있었는지는 스스로 판정하지 못했습니다.
뺀 경우가 정말 여사건인지 반례로 확인하기
교정에서는 결과를 새로 계산하게 하기보다, 먼저 잘못된 결과가 허용될 수 없는 이유를 찾게 했습니다. ‘적어도 한 명’의 여사건은 ‘한 명도 없는 경우’여야 하므로, 특정 모임에 속한 학생이 한 명 포함된 선택을 여사건에 넣었다면 원조건을 만족하는 반례가 됩니다. 반대로 여사건에서 빠진 선택을 하나 만들어 원조건을 만족하지 않는지 확인하면서, 뺄셈의 대상이 정확히 보완되는 경우인지 점검했습니다.
여사건을 이용한 계산은 전체 경우에서 아무 경우나 빼는 것이 아니라, 원조건을 만족하지 않는 경우를 정확히 한 번씩 제외하는 과정이다.
조건을 바꾼 문항에서 다시 세운 풀이
이후에는 교정 자료를 보지 않고 인원수와 조건이 달라진 새 문항을 풀었습니다. 학생은 먼저 전체 경우를 정한 뒤, 직접 세기 쉬운 ‘조건을 어기는 경우’를 별도로 표시하고 그 차를 구했습니다. 마지막에는 뺀 선택 하나와 남은 선택 하나를 각각 골라 원조건 충족 여부를 확인해, 여사건과 원사건이 서로 겹치거나 빠지는 부분이 없는지 검토했습니다.
최종 확인에서는 정답만 설명하지 않고, 풀이에서 오류가 생길 첫 지점을 스스로 특정했습니다. 즉 계산식의 뺄셈 자체가 아니라, 그 식에 넣은 경우가 원조건의 여사건인지 판정하지 않은 순간이 문제의 출발점이었다고 짚어 내며 풀이를 역순으로 검증했습니다.