청원구 양청고등학교 수학과외

경계값을 먼저 나누지 않아 달라진 기대값 풀이

청원구 내덕시영아파트와 내덕칠거리 생활권에서 수학 과외를 진행하던 학생은 확률변수의 변환에서 E(aX+b)=aE(X)+b를 활용하는 문제를 풀고 있었다. 문제에는 어떤 기준값을 경계로 식의 조건이 달라지는 상황이 포함되어 있어, 경계값을 넣었을 때와 그 앞뒤에서 결과가 어떻게 달라지는지를 함께 살펴야 했다.

경계값 하나만 대입하고 멈춘 풀이

학생은 먼저 경계가 되는 값을 직접 대입한 뒤 변환된 식의 기대값을 계산했다. 예를 들어 변환식이 Y=2X+3으로 정해진 구간에서는 E(Y)=2E(X)+3을 적용하는 데 어려움이 없었다. 하지만 경계값보다 작을 때와 클 때의 조건을 각각 비교하지 않아, 경계 전후에 식이 달라지는 경우를 하나의 계산으로 처리하려 했다.

풀이를 되짚어 보니 더 큰 문제는 선형성을 확인한 직후 발생했다. 학생이 바로 앞에서 제시된 조건 하나를 다음 줄에 옮기지 않아, 그 뒤부터는 원래 문제와 다른 식을 계산하고 있었다. 선형성 공식 자체는 맞았지만, 어떤 구간의 확률변수에 적용하는지 확인하지 않은 것이 오류의 시작점이었다.

E(aX+b)=aE(X)+b는 식을 바꾸는 공식이지, 경계 조건을 자동으로 대신 판단해 주는 공식은 아니다.

공식 적용 전후의 조건을 표시한 교정

교정할 때는 식을 계산하기 전에 경계값을 기준으로 경우를 나누고, 각 경우에 해당하는 변환식을 먼저 적게 했다. 그 다음에야 각 식에 선형성을 적용하도록 순서를 바꾸었다. 경계값 자체가 어느 조건에 포함되는지도 표시한 뒤, 경계 바로 전후의 결과가 같은지 다른지를 비교했다.

또한 학생에게 공식을 단순히 외운 문장이 아니라 “상수배한 확률변수의 평균은 평균에 같은 상수배를 하고, 더한 상수는 기대값에도 그대로 더한다”라고 다른 표현으로 설명하게 했다. 이 설명을 통해 공식의 의미와 적용 대상인 식을 구분하고 있는지 확인했다.

선택지를 제거한 새 문항에서 순서를 스스로 결정하다

이후에는 정답 후보가 주어지지 않은 새 문항을 제시했다. 조건이 바뀐 변환식에서 학생은 먼저 경계값의 포함 여부를 적고, 경계 전후의 경우를 나눈 다음 각 경우에 E(aX+b)=aE(X)+b를 적용했다. 계산이 끝난 뒤에는 사용한 조건과 기대값 계산을 다시 대조해, 처음부터 같은 식을 유지했는지도 확인했다.

마지막 검증에서는 새로운 숫자를 넣는 대신, 조건 하나를 제거하면 경계 전후의 구분이 사라지는지 살펴보게 했다. 학생은 선형성 계산은 그대로 가능하지만 적용할 변환식과 확률분포의 범위가 달라질 수 있으므로, 공식 사용 전 조건 확인이 먼저라고 설명했다. 이를 통해 경계값 판정과 선형성 적용을 혼동하지 않는지 확인할 수 있었다.