분평동 충북고등학교 수학과외
복잡한 경우의 수를 피할 수 있는 선택을 찾아낸 과정
분평동에서 수학 과외를 받던 학생은 충북고등학교 확률 문제의 선택지 중 어떤 풀이가 가장 적절한지 판단하는 데 막혀 있었다. 문제는 여러 번의 시행에서 특정 결과가 한 번 이상 나타날 확률을 구하는 상황이었고, 직접 계산하려면 한 번 나타나는 경우, 두 번 나타나는 경우를 모두 나누어 더해야 했다.
학생은 각 선택지 옆에 ‘여사건으로 바꿀 수 있음’, ‘직접 계산 필요’처럼 작은 기호를 표시하며 후보를 줄였다. 그러나 마지막 두 선택지에는 모두 조건 충족 표시를 남긴 채, 어느 쪽이 실제로 계산을 단순하게 만드는지 설명하지 못했다. 결국 여사건을 일부만 확인한 선택지를 끝까지 남겨 오답을 골랐다.
‘한 번 이상’이라는 표현을 반대 사건으로 바꾸지 못한 지점
교정할 때는 선택지를 단순히 지우는 대신, 각 조건을 문제에 직접 대입하게 했다. 예를 들어 성공 확률이 \(p\)인 시행을 4번 했을 때 ‘성공이 한 번 이상’인 확률은 성공 횟수를 1회부터 4회까지 나누어 더할 수도 있지만, 여사건인 ‘한 번도 성공하지 않음’은 한 가지 경우로 정리된다.
‘한 번 이상’의 여사건은 ‘한 번도 없음’이며, 두 사건을 합치면 전체 경우를 빠짐없이 포함한다.
따라서 학생은 각 후보에 대해 “직접 계산 항이 여러 개인가”, “반대 사건은 한 가지 형태로 정리되는가”, “원래 사건과 여사건이 모든 경우를 나누어 갖는가”를 차례로 확인했다. 마지막 선택지까지 \(P(\text{한 번 이상})=1-P(\text{한 번도 없음})\)으로 연결되는지 적은 뒤에야 근거 없이 남겨 둔 후보를 제거할 수 있었다.
조건이 바뀐 문항에서 새 관계식을 세우다
이후에는 시행 횟수와 성공 확률을 바꾼 문제를 제시했다. 성공 확률이 \(0.2\)인 시행을 5번 반복할 때 성공이 적어도 한 번 발생할 확률을 묻자, 학생은 이전 식을 그대로 옮기지 않고 먼저 여사건을 새로 만들었다.
‘성공이 한 번도 없음’의 확률을 \((1-0.2)^5=0.8^5\)로 정리한 다음, 원하는 확률을 \(1-0.8^5\)로 나타냈다. 성공 횟수별 항을 나열하지 않고도 왜 이 식이 더 짧은지 설명하면서, 바뀐 수치와 조건에 맞춰 관계식을 직접 구성했다.
예외가 남지 않는지 확인한 마지막 점검
최종 확인에서는 계산값보다 사건의 범위를 먼저 점검했다. ‘성공이 한 번 이상’과 ‘성공이 한 번도 없음’ 중 어느 쪽에도 속하지 않는 결과가 있는지, 두 사건에 동시에 속하는 결과가 있는지를 따져 보게 했다. 학생은 한 번 이상 성공한 경우와 전혀 성공하지 않은 경우가 서로 겹치지 않으며 모든 결과를 포함하므로 여사건을 사용해도 빠지는 예외가 없다고 판정했다.