교동 유봉여자고등학교 수학과외
공비의 크기를 먼저 가려낸 등비수열 극한 풀이
교동에서 유봉여자고등학교 수학 과제를 함께 살펴보던 학생은 문자와 수치가 섞인 조건을 보자마자 값을 대입하지 않고, 먼저 공비의 범위를 나누는 관계식을 적었다. 등비수열 \(r^n\)의 극한은 공비의 절댓값에 따라 달라지므로 \( |r|<1\), \(r=1\), \(r>1\), \(r\le -1\)을 구분하는 것이 출발점이었다.
후보를 골랐지만 반례에서 멈춘 선택
학생은 각 조건을 식에 적용하며 풀이를 이어 갔지만, 마지막에 어떤 경우를 반드시 검산해야 하는지는 정하지 못했다. 선택지 중 하나가 \( |r|<1\)일 때 \(r^n\to0\)이라는 사실과 맞아 보여 정답으로 표시했지만, 다른 조건에서도 같은 결론이 나오는지 확인하지 않은 채 판단한 것이 문제였다. 특히 \(r=-1\)이면 \(r^n\)은 \(1,-1,1,-1,\ldots\)로 바뀌므로 수렴하지 않는다는 반례를 빠뜨렸다.
\(|r|<1\)일 때만 \(r^n\)은 0으로 수렴하며, 공비가 음수인 경우에는 절댓값뿐 아니라 부호의 변화도 함께 살펴야 한다.
절댓값 조건과 부호 조건을 나란히 분리하기
교정할 때는 한 식 안에서 조건을 섞어 처리하지 않고 두 칸으로 나누었다. 한 칸에는 \( |r|<1\)인지 확인한 뒤 \(r^n\to0\)을 적고, 다른 칸에는 \(r=1\), \(r=-1\), \(r>1\), \(r<-1\)일 때 항의 변화를 따로 기록했다. 예를 들어 \(r=\frac12\)이면 \(r^n\to0\)이지만, \(r=-\frac12\)도 절댓값이 1보다 작으므로 부호가 번갈아도 \(r^n\to0\)이 된다는 점을 직접 비교했다. 반대로 \(r=-1\)은 절댓값이 1이면서 항이 두 값 사이를 오가므로 같은 결론을 적용할 수 없었다.
표현을 바꾼 조건에서 다시 세운 관계식
이후에는 앞서 보았던 식을 그대로 복사하지 않고, 공비가 \(r=\frac{a-1}{a+1}\)로 주어진 새 문항을 풀었다. 학생은 먼저 분모가 0이 되지 않는 조건을 확인한 뒤, \(\left|\frac{a-1}{a+1}\right|<1\)인지 판단하는 관계식을 세웠다. 단순히 후보 답을 찾는 대신 \(a\)의 범위가 바뀔 때 공비의 절댓값과 부호가 어떻게 달라지는지 나누어 살피면서 \(r^n\)의 극한을 결정했다.
마지막에는 선택지를 보지 않고 \(r=-1\)을 대입해 항이 수렴하지 않는다는 반례를 직접 구성했다. 이어 \(r=\frac12\)에서는 0으로 수렴하고 \(r=1\)에서는 모든 항이 1이라는 결과를 각각 대조해, 최종 답에 공비 조건과 맞지 않는 사례가 남아 있지 않은지 조건별로 점검했다.