월평동 서대전고등학교 수학과외
계산값보다 먼저 확인한 것은 공차의 일정함이었다
서대전고등학교 학생과 수열 문제를 살펴보던 중, 학생은 첫째항과 몇 개의 항을 계산한 뒤 답이 맞는지만 대입해 확인하려 했다. 그러나 이 문제의 핵심은 계산 결과가 아니라 모든 연속한 두 항의 차가 같은지 판단하는 데 있었다.
예를 들어 a1=2, an+1=an+3이라면 학생은 차례로 a2=5, a3=8, a4=11을 구했다. 처음에는 이 숫자들을 얻었다는 사실만 답으로 받아들였지만, 실제 조건은 매 단계에서 같은 수 3을 더한다는 데 있었다.
답을 구한 줄과 조건을 확인한 줄이 섞였던 장면
학생의 풀이에는 계산 과정이 남아 있었지만, 어떤 값이 핵심 조건에서 나온 것인지 단순히 계산된 결과인지 구분하지 못했다. 특히 마지막 항을 원래 식에 다시 넣어 보는 과정에서도 한 번 성립한 계산을 전체 수열의 규칙으로 확대하려 했다.
그래서 답을 보지 않은 상태에서 문제에 주어진 정보 중 첫째항과 두 항 사이의 차만 표시하게 했다. 이어 a2-a1, a3-a2처럼 연속항의 차를 한 줄씩 적고, 그 값이 일정한지 확인한 뒤에야 다음 항을 계산하도록 순서를 바꾸었다.
등차수열인지 확인하는 기준은 항을 몇 개 계산했는지가 아니라, 연속한 항의 차가 일정하게 유지되는지에 있다.
정답 후보 없이 규칙부터 판별한 새 문항
새 문제에서는 a1=4, an+1=an+2n이 주어졌다. 학생은 곧바로 등차수열이라고 하지 않고 a2=6, a3=10, a4=16을 계산한 뒤 차가 각각 2, 4, 6으로 달라진다는 점을 적었다. 따라서 항은 계속 계산할 수 있지만 일정한 공차를 갖는 등차 구조는 아니라고 구별했다.
마지막에는 계산을 역순으로 점검하게 했다. 자신이 등차수열이라고 판단한 경우에는 모든 연속항이 같은 차를 갖는지 확인하고, 그렇지 않은 경우에는 어느 단계에서 차가 달라졌는지 찾아 설명했다. 이를 통해 학생은 답을 원래 식에 대입하는 것과 그 식이 등차수열의 조건을 실제로 보장하는지 판정하는 일을 분리할 수 있었다.