대전동구 우송고등학교 수학과외
우송고등학교 학생은 삼각비를 구하는 서술형 문항에서 그림의 점과 선분을 먼저 표시하며 풀이의 순서를 잡았다. 대전동구 생활권에서 진행한 수업에서도 문제의 숫자보다 두 직각삼각형이 어떤 대응을 이루는지 확인하는 데 초점을 맞췄다.
결과는 적었지만 닮음이 연결되지 않았던 답안
학생은 그림의 대응하는 변을 표시한 뒤 큰 삼각형과 작은 삼각형의 크기가 달라도 같은 삼각비를 갖는다는 결론까지 도달했다. 그러나 서술형 답안에는 결론만 남고, 왜 두 삼각형에서 해당 변의 비가 같아지는지 보여 주는 관계식이 빠져 있었다. 표시를 하다가 닮음의 대응 관계를 판단하는 지점에서 풀이를 다시 시작한 흔적도 확인됐다.
닮은 직각삼각형에서는 대응변의 비가 같으므로, 삼각형의 크기가 달라져도 같은 각에 대한 삼각비는 변하지 않는다.
교정할 때는 먼저 대응하는 변을 짝지은 다음, 닮음에서 얻는 비례식을 한 줄로 쓰게 했다. 예를 들어 한 삼각형의 변의 길이가 3, 4, 5이고 다른 삼각형이 그 두 배로 확대된 6, 8, 10이라면, 같은 각을 기준으로 세로변과 빗변의 비는 각각 3/5와 6/10으로 같아진다. 따라서 단순히 “삼각비가 같다”고 적는 것이 아니라, 3/5 = 6/10이라는 연결 과정을 제시해야 논리가 완성된다.
표현을 바꿔도 직접 비례식을 세웠는가
이후에는 기존 그림이나 식을 그대로 따라 쓰지 않도록 조건 하나만 유지하고 나머지 표현을 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 새로운 두 직각삼각형에서 같은 각에 대응하는 변을 다시 찾아, 확대 비율이 달라도 대응변의 비가 일정하다는 관계식을 스스로 만들었다. 이번에는 결론을 먼저 적지 않고 닮음의 대응 관계와 비례식을 앞에 배치했다.
마지막에는 결과를 다른 경로로 확인했다. 한 삼각형에서 계산한 삼각비를 다른 삼각형의 변에 적용해 길이를 구한 뒤, 그 길이가 실제 주어진 변과 일치하는지 역으로 검산하게 했다. 두 계산 경로가 같은 값을 내면서 학생은 삼각비의 불변성을 공식처럼 외운 것이 아니라 닮음과 대응변의 비에서 직접 판단할 수 있음을 확인했다.