대동 대전여자고등학교 수학과외







부분합 두 식 사이를 건너뛴 풀이
대동에서 수학 과외를 진행하던 중, 대전여자고등학교 학생은 등차수열의 부분합 조건으로 첫째항과 공차를 구하는 문제를 풀었다. 문제의 그림에서 여러 항의 합을 나타내는 위치를 직접 표시했지만, 표시한 정보를 식으로 옮기는 과정에서 중요한 판단 한 줄을 생략했다.
예를 들어 부분합이 \(S_3=21\), \(S_5=45\)라면 학생은 먼저 그림에 해당 구간을 표시한 뒤 답의 후보를 좁혔다. 그러나
\(S_3=3a+3d=21\), \(S_5=5a+10d=45\)
를 세워 \(a+d=7\), \(a+2d=9\)로 바꾸고 \(a=5,\ d=2\)를 얻는 중간 과정을 설명하지 않았다. 문제에서 요구한 값까지는 도달했지만, 부분합 조건이 첫째항과 공차에 어떻게 연결되는지 확인하지 않은 상태였다.
후보를 고른 뒤 반례를 놓친 장면
선택지를 검토할 때는 \(a=5,\ d=2\)에 맞는 보기를 찾았지만, 그 후보가 두 조건을 모두 만족하는지 다시 계산하지 않고 정답으로 확정했다. 특히 \(S_3\)만 맞는 다른 후보를 배제하지 않아 오답 선택지가 남아 있었다.
교정할 때는 부분합식을 단순히 외우게 하지 않고, “첫째항부터 세 번째 항까지의 합”과 “첫째항부터 다섯 번째 항까지의 합”을 각각 등차수열의 항으로 풀어 말하게 했다. 이후 \(S_3=3a+3d\), \(S_5=5a+10d\)를 직접 구성하고, 두 식을 나누거나 정리해도 원래 조건이 유지되는지 확인했다.
부분합 조건으로 \(a\)와 \(d\)를 정할 때는 식을 만든 뒤 두 조건을 모두 다시 대입해야 한다.
표현이 바뀐 부분합 조건에 다시 세운 관계식
다음에는 앞 문제의 식을 복사하지 않고, 네 항의 합이 26이고 일곱 항의 합이 77인 새로운 문항을 제시했다. 학생은 \(S_4=4a+6d=26\), \(S_7=7a+21d=77\)을 스스로 세운 뒤 \(a=2,\ d=3\)을 구했다. 조건의 숫자와 항의 개수가 달라졌는데도 부분합을 항별로 전개해 첫째항과 공차를 결정했다.
마지막에는 처음 문제의 후보를 다시 가져와 \(a=5,\ d=2\)를 원조건에 대입했다. \(5+7+9=21\), \(5+7+9+11+13=45\)가 모두 성립하는지 확인하면서, 한 조건만 맞는 후보는 허용할 수 없다는 점까지 판정했다.