봉선동 문성고등학교 수학과외
경계값 하나로 달라진 사인법칙 판단
문성고등학교 학생과 삼각형의 변과 각을 연결하는 문제를 풀던 중, 학생은 a/sin A=b/sin B=c/sin C 관계를 이용해 조건의 범위를 판정하고 있었다. 봉선동에서 가져온 문제는 특정 경계값을 기준으로 결과가 달라지는지를 판단해야 하는 문항이었다.
경계값만으로 부등호를 정했던 풀이
학생은 먼저 경계가 되는 값을 식에 대입한 뒤 여백에 표시를 남겼다. 하지만 그 값의 바로 앞뒤에서 비율과 각의 관계가 어떻게 달라지는지는 확인하지 않았다. 결국 판단 기준이 바뀌는 지점을 놓친 채 부등호 방향을 정했고, 풀이를 다시 시작해야 했다.
예를 들어 같은 삼각형에서 a/sin A와 b/sin B가 공통 비율을 이룬다는 점을 확인하더라도, 경계값에서 조건이 포함되는지 제외되는지는 별도로 살펴야 한다. 경계값 하나만 대입해서는 경계 전후의 변화까지 알 수 없기 때문이다.
경계의 양옆을 함께 비교한 표
교사는 경계값만 넣지 않고, 경계값과 그 양옆의 대표값을 각각 대입하게 했다. 학생은 세 경우의 결과를 표로 나란히 적고, 어느 지점에서 범위나 부호가 달라지는지 표시했다. 그 뒤 a/sin A=b/sin B=c/sin C가 변과 대응하는 각을 연결하는 공통 기준이라는 점을 이용해 부등호 방향을 다시 결정했다.
경계값은 결과를 확인하는 한 점일 뿐이며, 경계 전후의 변화를 비교해야 조건의 방향을 정할 수 있다.
표현을 바꾼 새 관계식에서의 적용
이후에는 앞서 풀었던 식을 그대로 제시하지 않고, 한 조건만 유지한 채 변과 각의 표현을 바꾼 문항을 풀게 했다. 학생은 이전 풀이를 복사하지 않고 새로운 관계식을 직접 세운 다음, 대응하는 변과 각을 찾아 공통 비율을 구성했다. 경계가 되는 값과 주변 값을 다시 비교했지만, 이번에는 부등호를 먼저 정하지 않고 결과 변화부터 확인했다.
마지막 검증에서는 특정 답을 고르는 대신, 범위와 부호가 왜 그렇게 결정되는지를 조건의 관점에서 역순으로 설명했다. 학생은 먼저 삼각형의 변과 각이 사인값을 통해 같은 비율로 연결된다는 점을 제시하고, 이어 경계값 포함 여부와 양옆 값의 결과를 근거로 최종 범위를 판정했다.