운암동 금호고등학교 수학과외







넓이 계산보다 먼저 확인한 끼인각의 역할
운암동에서 수학 과외를 받던 학생은 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 각이 주어진 문제에서 풀이를 시작하기 전, 넓이식에 1/2ab sin C를 따로 적어 두었다. 문제의 핵심을 놓치지 않으려는 행동이었지만, 실제 계산에서는 이 식을 적용해야 하는 조건과 그 뒤의 단순 연산을 같은 단계로 처리하고 있었다.
예를 들어 두 변이 6, 8이고 끼인각이 30°라면 넓이는 1/2×6×8×sin30°=12이다. 학생은 곱셈 과정은 남겼지만, 왜 30°의 사인값을 사용해야 하는지와 각이 두 변 사이에 있어야 한다는 조건은 표시하지 않았다. 그 결과 각의 위치가 달라진 문항에서도 같은 방식으로 값을 대입했고, 계산 중 생긴 예외적인 값을 그대로 답에 남겼다.
숫자를 계산하기 전, 답이 가능한 범위부터 확인한 장면
교정할 때는 이전 풀이 순서를 그대로 반복하지 않았다. 한 변을 밑변으로 보고 다른 변에서 밑변에 내린 높이를 먼저 생각하게 했다. 위의 예에서는 6인 변과 30°를 이용해 높이를 8sin30°=4로 만든 뒤, 넓이를 1/2×6×4=12로 구했다. 이 과정을 통해 사인값은 두 변의 관계와 끼인각에서 높이를 만드는 값이며, 넓이 계산의 중간 근거라는 점을 확인했다.
두 변과 그 사이의 각이 주어졌을 때에는 한 변에 대한 다른 변의 높이가 해당 각의 사인값으로 결정된다.
또한 삼각형의 넓이는 양수이고, 0°<C<180°인 삼각형에서는 0<sin C≤1이라는 범위를 함께 점검했다. 사인값을 생략하거나 각의 위치를 바꾸어 얻은 값이 이 범위를 벗어나면 계산을 계속하기 전에 조건부터 다시 보도록 했다.
표현이 바뀐 문항에서 식을 새로 세운 확인
다음 문제에서는 앞서 적은 식을 그대로 복사하지 않았다. 한 변의 길이가 10, 다른 변의 길이가 5이고 두 변 사이의 각이 120°인 경우, 학생은 먼저 5sin120°를 높이로 보고 넓이를 1/2×10×5×sin120°=25√3/2로 직접 세웠다. 각이 예각이 아니어도 두 변 사이의 각이라는 조건이 유지되면 같은 넓이식이 성립한다는 점을 스스로 적용했다.
마지막에는 계산 경로를 바꾸어 높이와 밑변으로 다시 넓이를 표현하고, 결과가 양수이며 1/2×10×5보다 크지 않은지 확인했다. 단순히 같은 답을 얻는 데 그치지 않고, 끼인각 조건과 사인값의 범위를 함께 점검하면서 예외적인 값을 답으로 남긴 오류가 어느 줄에서 시작됐는지도 찾아냈다.