삼각동 국제고등학교 수학과외

끼인각이 바뀌었을 때 세 번째 변을 다시 판단한 과정

삼각동에서 진행한 고등학교 수학과외에서 한 학생은 두 변의 길이와 그 사이 각이 주어진 삼각형 문제를 풀었다. 문제는 각 조건을 바꾸었을 때 세 번째 변의 길이가 어떻게 달라지는지 비교하는 내용이었다. 학생은 먼저 구해야 할 변을 표시한 뒤, 주어진 두 변과 끼인각이 그 변으로 이어지는 관계를 찾아 풀이를 시작했다.

계산은 맞았지만 검산 기준이 없었던 장면

학생은 코사인 법칙을 이용해 세 번째 변을 계산했다. 두 변의 길이가 각각 5, 7이고 끼인각이 60°라면 구하는 변을 c라고 할 때 c²=5²+7²-2·5·7·cos60°=39가 된다. 계산 절차 자체는 자연스러웠지만, 선택지 중 계산 결과와 비슷한 값을 찾은 뒤 그 값이 실제 조건에 맞는지 확인하는 방법은 정하지 못했다.

특히 학생은 후보 답을 하나 골랐지만, 각도를 바꿨을 때 변의 크기도 함께 변해야 한다는 점을 반례로 확인하지 않았다. 예를 들어 같은 두 변에서 끼인각이 60°에서 120°로 커지면 cos120°는 음수가 되므로 세 번째 변의 제곱은 더 커져야 한다. 이 비교를 생략한 탓에 계산값과 맞지 않는 선택지를 정답으로 확정했다.

두 변이 고정되어 있을 때 끼인각의 변화는 코사인 법칙의 부호와 세 번째 변의 크기를 함께 바꾼다.

후보를 고른 뒤 반례를 먼저 대입하기

교정할 때는 답을 고른 다음 바로 확정하지 않고, 바뀐 조건을 원래 식에 다시 넣어 결과가 설명되는지 확인하도록 했다. 학생은 같은 두 변에 120°를 대입해 c²=5²+7²-2·5·7·cos120°=109를 얻었고, 각이 커졌는데도 세 번째 변이 작아진다는 후보가 조건과 맞지 않음을 찾아냈다.

이후 학생은 이 풀이를 “두 변의 제곱을 더한 뒤, 끼인각의 코사인을 이용해 두 변 사이의 조정값을 빼서 세 번째 변의 제곱을 구하는 방법”이라고 설명했다. 공식의 모양만 외운 것이 아니라 각도 변화가 결과에 미치는 이유까지 연결했는지 확인할 수 있었다.

선택지를 없앤 문제에서 스스로 순서를 세우다

새 문항에서는 선택지를 제공하지 않고 두 변과 끼인각만 제시했다. 학생은 먼저 구할 변을 표시하고, 코사인 법칙에 조건을 대입한 다음, 각도의 코사인 부호를 확인하고, 마지막으로 결과가 두 변의 크기와 비교해 타당한지 검산했다.

마지막에는 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 최종값이 조건에 맞는지 확인한 뒤 어떤 식에서 출발했는지 거꾸로 짚어 보면서, 계산 결과와 끼인각의 변화가 서로 모순되지 않는지 점검했다. 이를 통해 정답 후보를 고르는 데 그치지 않고 조건·계산·검산을 스스로 연결하는지 확인했다.