용봉동 전남대학교사범대학부설고등학교 수학과외
용봉동에서 진행한 한 고등학교 수학 과외 시간에 학생은 도형의 변 길이에 매개변수가 포함된 문제를 풀고 있었다. 계산 자체는 빠르게 진행했지만, 구한 값이 실제 변의 길이 조건을 만족하는지는 뒤로 미루는 습관이 보였다.
계산값 옆에 붙인 메모가 놓친 것
문제의 세 변이 4, 7, x로 주어진 삼각형 상황에서 학생은 식을 정리한 뒤 계산 결과 옆에 ‘변의 길이 조건 확인’이라는 메모를 남겼다. 그러나 그 메모는 계산 결과와 조건을 구분하지 못한 채 다음 단계로 넘어가기 위한 표시처럼 사용되고 있었다.
처음 막힌 지점은 계산으로 얻은 범위가 어떤 조건에서만 가능한지 판단하는 부분이었다. 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 하므로
7 - 4 < x < 7 + 4, 즉 3 < x < 11
이 되어야 한다. 단순히 식을 계산해 값이나 부등식을 얻는 것과, 그 결과가 실제 변 길이로 허용되는지를 확인하는 것은 서로 다른 단계였다.
답을 보지 않고 조건만 다시 세운 과정
교정할 때는 완성된 풀이를 참고하지 않고, 학생이 문제에서 확인해야 할 정보만 골라 한 줄씩 적었다.
- 매개변수가 나타난 변의 길이는 양수여야 한다.
- 세 변이 삼각형을 이루려면 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 한다.
- 각 조건에서 나온 범위를 계산 결과와 대조한다.
이후 학생은 계산식을 먼저 밀어붙이지 않고, 주어진 변과 매개변수가 들어간 변을 구분한 뒤 조건을 세웠다. 특히 4와 7의 차보다 크고 합보다 작아야 한다는 점을 직접 표시하면서, 계산 결과가 아니라 조건이 최종 범위를 결정한다는 것을 풀이에 반영했다.
정답 후보 없이 범위를 끝까지 판정한 새 문항
새 문제에서는 두 고정된 변의 길이와 매개변수가 포함된 변의 식을 바꾸고, 선택지 없이 가능한 매개변수의 범위를 구하게 했다. 학생은 먼저 변의 길이가 양수인지 확인한 다음 삼각형의 세 부등식을 세웠고, 각각의 결과를 합쳐 최종 범위를 만들었다.
마지막에는 경계값을 대입해 확인했다. 두 변의 합과 나머지 변이 같아지는 값에서는 삼각형이 만들어지지 않으므로 등호를 포함할 수 없다는 점도 설명했다. 계산 결과와 조건에 따른 허용 범위를 분리해 검산하면서, 필요한 근거만 남기는 풀이로 정리할 수 있었다.