쌍촌동 상무고등학교 수학과외
답 후보를 줄인 뒤에도 마지막 선택이 흔들린 이유
상무고등학교 학생과의 수업에서 세 점을 지나는 원의 방정식을 이용해 여러 답 후보 중 하나를 고르는 문제를 다뤘다. 쌍촌동에서 이동해 온 학생은 계산을 시작하기 전에 문제의 조건과 원의 방정식에 연결되는 식들을 화살표로 묶었다. 덕분에 세 점을 대입해야 하는 후보와 그렇지 않은 후보를 빠르게 구분할 수 있었다.
원의 방정식을 x²+y²+Dx+Ey+F=0으로 두면, 세 점을 각각 대입해 D, E, F를 결정해야 한다. 예를 들어 (1, 0), (0, 1), (-1, 0)을 지나야 한다면 대입 결과를 비교해 x²+y²-1=0을 얻는다. 학생은 이 과정과 맞지 않는 선택지를 대부분 제거했지만, 남은 후보가 세 점 모두를 만족하는지 마지막으로 확인하지 않은 채 정답으로 확정했다.
세 점을 통과하는지 확인하지 않아 생긴 오판
학생의 실수는 계산을 전혀 못한 것이 아니라, ‘조건에 맞아 보이는 후보’와 ‘세 점을 실제로 모두 만족하는 후보’를 같은 것으로 본 데 있었다. 특히 한 후보가 두 점을 만족하자 나머지 한 점을 대입하지 않았다. 그러면 (1, 0)과 (0, 1)에서는 성립해도 (-1, 0)에서 성립하지 않는 식을 걸러낼 수 없다.
미정계수의 값을 정한 식은 세 점 각각에 대입해 모두 성립하는지 확인해야 한다.
교정할 때는 틀린 답을 곧바로 지우게 하지 않고, 그 후보가 허용되지 않는 점을 직접 찾아 반례로 만들었다. 학생은 후보 식에 세 점을 차례로 대입하고, 어느 점에서 등식이 깨지는지 표시했다. 이후에는 후보를 고른 근거와 최종 확인 근거를 분리해 적었다.
선택지가 사라진 문제에서 순서를 스스로 세우다
새 문항에서는 선택지를 제공하지 않고, (0, 0), (2, 0), (0, 2)를 지나는 원의 방정식을 직접 구하게 했다. 학생은 먼저 x²+y²+Dx+Ey+F=0에 세 점을 대입해 F=0, D=-2, E=-2를 차례로 결정했다. 그 결과 x²+y²-2x-2y=0을 만든 뒤 세 점을 다시 대입해 각각 등식이 성립하는지 확인했다.
마지막에는 답만 반복하지 않고, 세 점 중 하나라도 대입해 성립하지 않는 후보라면 원의 방정식이 될 수 없다는 점을 반례로 점검했다. 이번에는 반례가 남아 있지 않은지 확인한 뒤에야 최종 답을 확정했다.