산곡동 인천외국어고등학교 수학과외
인천외국어고등학교 학생은 새 수치로 바뀐 다항함수 문제에서 먼저 중간식 옆에 극값의 위치와 함수값을 따로 적었다. 예를 들어 삼차함수의 도함수가 \(f'(x)=0\)이 되는 지점을 찾고, 그 결과를 미지계수와 연결하려 했다. 산곡동에서 수업할 때도 계산 자체보다 그 결과가 극댓값·극솟값 조건을 실제로 만족하는지 이어서 판단하는 데 초점을 맞췄다.
도함수가 0이라는 사실만으로 후보를 확정한 장면
학생은 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)에서 \(x=0, 2\)가 극값의 위치라는 조건을 보고 \(f'(0)=f'(2)=0\)을 세웠다. 이 식으로 \(b=0\), \(a=-3\)을 얻은 뒤에는 후보가 정해졌다고 생각했다. 그러나 문제에서 \(x=0\)을 극솟값, \(x=2\)를 극댓값으로 요구했다면 이 계산만으로는 두 점의 종류까지 확인한 것이 아니었다.
실제로 \(f(x)=x^3-3x^2+c\)라면 \(f'(x)=3x(x-2)\)이므로 두 점 모두 정지점이다. 하지만 \(f''(0)=-6\), \(f''(2)=6\)이어서 \(x=0\)은 극댓값이고 \(x=2\)는 극솟값이다. 학생은 선택지에서 이 반대 결과를 만드는 후보를 골랐지만, 정지점 조건만 맞는다는 이유로 정답이라고 확정한 상태였다.
계산값이 아니라 허용되지 않는 이유를 반례로 확인하기
교사는 틀린 후보를 곧바로 지우게 하지 않고, 그 후보를 그대로 함수에 대입해 조건과 어긋나는 지점을 찾게 했다. 학생은 \(f''(0)\)과 \(f''(2)\)의 부호를 각각 계산한 뒤, 요구된 극대·극소의 순서와 반대임을 확인했다. 이렇게 한 조건만 맞는 예를 반례로 삼자, 미지계수를 정할 때는 \(f'(x)=0\)뿐 아니라 두 번째 도함수의 부호까지 연결해야 한다는 점이 분명해졌다.
극값의 위치를 정하는 조건과 그 점이 극대인지 극소인지 판정하는 조건은 따로 확인해야 한다.
조건의 표현을 바꾼 새 문항에서 직접 세운 관계식
이후에는 이전 식을 보지 않고, \(g(x)=x^3+px^2+qx+r\)가 \(x=-1\)에서 극솟값, \(x=1\)에서 극댓값을 갖는다는 새 문항을 풀었다. 학생은 먼저 \(g'(-1)=g'(1)=0\)을 세워 \(p=0,\ q=-3\)을 구한 다음, \(g''(-1)=6>0\), \(g''(1)=-6<0\)을 계산해 두 점의 종류를 판정했다. 함수값 조건이 추가되자 그때 \(r\)을 결정하며, 위치 조건과 종류 조건을 한꺼번에 섞지 않고 순서에 맞게 사용했다.
마지막에는 선택지 없이 조건만 보고 계수를 구성하게 했다. 학생은 도함수의 근을 먼저 확인하고, 두 번째 도함수의 부호로 극대·극소가 바뀌지 않았는지 점검했다. 특히 \(x=-1\)과 \(x=1\)의 판정이 뒤바뀐 후보를 반례로 들어 제외하면서, 예외 없이 모든 극값 조건을 만족하는지 스스로 검증했다.