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간석동 인천예술고등학교 수학과외

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꺾이는 점에서 계산값과 미분가능 조건을 나누어 본 풀이

간석동에서 인천예술고등학교 수학 과제를 살펴보던 학생은 절댓값이 포함된 함수의 미분가능성을 묻는 문항에서 먼저 문제에 주어진 수와 식 전체를 한꺼번에 옮기지 않았다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 점과 그 점에서의 변화율만 골라 확인하려고 했다.

예를 들어 \(f(x)=|x^2-4|\)에서 \(x=2\)의 미분가능성을 판단할 때 학생은 \(x=2\)를 대입해 절댓값 안이 0이 된다는 사실까지는 찾았다. 하지만 그 뒤 계산한 값만으로 결론을 내리려 했고, 그 결론이 절댓값 안의 식이 0이 되는 꺾이는 점에서만 필요한 판단이라는 점은 구분하지 못했다.

절댓값 안의 식이 0이 되는 순간에 멈춘 이유

교정에서는 먼저 \(u(x)=x^2-4\)로 두고 \(u(2)=0\)인지 확인한 다음, \(u'(2)=4\)를 계산하게 했다. \(u'(2)\neq0\)이므로 \(u(x)\)의 부호가 \(x=2\)의 좌우에서 달라지고, \(f(x)\)는 그 점에서 꺾인다. 실제로 좌미분계수는 \(-4\), 우미분계수는 \(4\)이므로 서로 같지 않아 미분가능하지 않다.

절댓값 안이 0이 되는 점에서는 대입 결과만 보지 말고, 좌우 미분계수가 같은지 확인해야 한다.

반대로 절댓값 안이 0이 되지 않는 점에서는 해당 근방에서 부호가 일정하므로 절댓값을 벗겨 일반적인 식으로 미분할 수 있다는 점도 함께 구별했다. 학생은 답을 참고하지 않고 ‘절댓값 안이 0인지 확인 → 그 점에서 좌우 변화율 비교 → 미분가능 조건 판정’의 순서로 풀이를 한 줄씩 다시 작성했다.

식을 바꾼 독립 문항에서 조건을 직접 판정하다

이후 \(g(x)=|x^2-9|\)의 \(x=3\)에서의 미분가능성을 새로 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 \(x^2-9=0\)이 되는 점이 \(3\)임을 먼저 찾은 뒤, 안쪽 식의 미분값 \(2x\)에 \(x=3\)을 대입해 좌우 기울기가 각각 \(-6\), \(6\)이 됨을 구성했다. 따라서 이 점에서는 미분가능하지 않다고 스스로 결론 내렸다.

마지막에는 \(x=0\)처럼 절댓값 안이 0이 아닌 점을 따로 대입해 꺾이는 점 조건이 성립하지 않음을 확인했다. 학생은 계산 결과 자체와 그 결과를 적용할 수 있는 조건을 분리해 설명하며, 절댓값 함수의 미분가능성 판단 범위를 정확히 점검했다.

간석동 수학과외 학부모 후기

계산 숙제를 펼쳐 보니 아이가 두 풀이를 종이 양쪽에 나눠 적어 놓았더라고요. 답만 맞춰 본 게 아니라 두 식을 한 줄씩 비교하면서 서로 달라지는 지점에 표시해 둔 모습이 먼저 눈에 띄었어요. 방학 숙제를 시작한 오전이었고, 책과 프린트를 정리하던 중에 발견했습니다. 예예전에는 오답이 나와도 한 부분만 대충 다시 보고 넘어가는 일이 많았는데, 그날에는 처음 어긋난 단계까지 찾아서 따로 표시하고 있었습니다. 간석동 수학과외 이야기를 나누며 기대했던 건 이런 구체적인 장면이었는데, 막상 집에서 보니 꽤 분명하게 느껴지더라고요. 이후 다른 계산 숙제를 펼쳤을 때도 두 풀이를 나란히 적은 뒤 가장 먼저 달라진 단계를 표시했어요. 확인한 부분 옆에는 작은 표시 하나만 남겨 두었고, 전처럼 답만 훑고 지나가지는 않더라고요.

★★★★★학부모 후기

비가 내리던 주말 오후, 아이가 문제집 한 장을 잠시 들여다보고 있더라고요. 숫자부터 찾을 줄 알았는데 문제를 다시 읽으면서 수치가 나온 부분보다 조건을 설명한 문장에 먼저 표시를 했어요. 확인할 내용이 여러 개면 예전에는 중요한 부분과 덜 중요한 부분이 한데 섞여 보였는데, 그날은 읽는 순서가 조금 달라 보여서 저도 옆에서 잠깐 지켜봤습니다. 간석동 수학과외 후기를 찾아보며 여러 생각이 들었던 것도 사실이지만, 결국 집에서 보이는 작은 장면이 더 눈에 들어오더라고요. 다른 선택지 문제를 풀 때도 숫자를 바로 따라가지 않고 조건 문장부터 다시 확인했어요. 앞에서 읽었던 부분은 접어 둔 채 다음 문제로 넘어갔고, 선택지를 비교할 때도 수치보다 조건을 먼저 짚고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

새 문제집을 펼치고 첫 문제를 풀던 아이가 답을 적은 뒤 바로 다음 장으로 넘기지 않더라고요. 문제에서 요구한 범위나 조건이 빠진 건 없는지 다시 살펴보고, 확인이 끝난 부분과 조금 더 볼 부분을 나눠두었어요. 단순히 답만 맞추는 것보다 문제의 요구를 뒤에서 한 번 더 짚는 모습이었습니다. 간석동 수학과외를 알아보던 중 집에서 시험지를 가방에서 꺼내 정리하는 장면도 보게 됐어요. 문제를 다 푼 뒤 답부터 맞춰보는 대신 단위와 범위를 먼저 확인하고 있었습니다. 예전에는 결과가 맞으면 중간 과정은 거의 다시 들여다보지 않았거든요. 이번에는 답을 적은 뒤 조건이 빠지지 않았는지 먼저 확인한 뒤 다음 문제로 넘어갔어요.

★★★★★학부모 후기

늦은 시간까지 숙제가 남은 날에도 예전처럼 아예 손을 놓지 않고, 할 수 있는 문제부터 시작하는 모습이 눈에 띄었습니다. 간석동에서 수학 과외를 받으며 아이가 처음으로 모르는 부분을 조심스럽게 물었고, 선생님은 틀린 문제도 부담 없이 다시 살펴보게 해주셨습니다. 숙제는 무리하지 않도록 나눠 주셔서 학부모로서도 한결 안심됐습니다.

★★★★★학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 오늘 할 공부량을 스스로 확인하고 책상에 앉는 모습이 조금씩 보였습니다. 간석동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 집중이 금방 흐트러졌는데, 선생님께서 정답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 하고 막힌 부분을 편하게 짚어 주셔서 숙제와 복습을 끝까지 이어 가는 날이 많아졌습니다. 빠른 결과보다 꾸준한 습관이 생긴 점이 가장 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

간석동에서 수학과외를 시작한 뒤 두세 번 수업이 지나자, 아이가 선생님께 모르는 것을 숨기지 않는 모습이 눈에 띄었습니다. 원래는 낯을 가려 이해했다고 대답하곤 했는데, 숙제와 복습 때 선생님이 답을 바로 알려주기보다 어디까지 알았는지 차분히 물어봐 주셔서 부담이 줄어든 것 같습니다. 시험기간에도 어려운 문제를 그대로 지나치지 않고 다시 질문하는 변화가 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기