간석동 인천예술고등학교 수학과외







꺾이는 점에서 계산값과 미분가능 조건을 나누어 본 풀이
간석동에서 인천예술고등학교 수학 과제를 살펴보던 학생은 절댓값이 포함된 함수의 미분가능성을 묻는 문항에서 먼저 문제에 주어진 수와 식 전체를 한꺼번에 옮기지 않았다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 점과 그 점에서의 변화율만 골라 확인하려고 했다.
예를 들어 \(f(x)=|x^2-4|\)에서 \(x=2\)의 미분가능성을 판단할 때 학생은 \(x=2\)를 대입해 절댓값 안이 0이 된다는 사실까지는 찾았다. 하지만 그 뒤 계산한 값만으로 결론을 내리려 했고, 그 결론이 절댓값 안의 식이 0이 되는 꺾이는 점에서만 필요한 판단이라는 점은 구분하지 못했다.
절댓값 안의 식이 0이 되는 순간에 멈춘 이유
교정에서는 먼저 \(u(x)=x^2-4\)로 두고 \(u(2)=0\)인지 확인한 다음, \(u'(2)=4\)를 계산하게 했다. \(u'(2)\neq0\)이므로 \(u(x)\)의 부호가 \(x=2\)의 좌우에서 달라지고, \(f(x)\)는 그 점에서 꺾인다. 실제로 좌미분계수는 \(-4\), 우미분계수는 \(4\)이므로 서로 같지 않아 미분가능하지 않다.
절댓값 안이 0이 되는 점에서는 대입 결과만 보지 말고, 좌우 미분계수가 같은지 확인해야 한다.
반대로 절댓값 안이 0이 되지 않는 점에서는 해당 근방에서 부호가 일정하므로 절댓값을 벗겨 일반적인 식으로 미분할 수 있다는 점도 함께 구별했다. 학생은 답을 참고하지 않고 ‘절댓값 안이 0인지 확인 → 그 점에서 좌우 변화율 비교 → 미분가능 조건 판정’의 순서로 풀이를 한 줄씩 다시 작성했다.
식을 바꾼 독립 문항에서 조건을 직접 판정하다
이후 \(g(x)=|x^2-9|\)의 \(x=3\)에서의 미분가능성을 새로 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 \(x^2-9=0\)이 되는 점이 \(3\)임을 먼저 찾은 뒤, 안쪽 식의 미분값 \(2x\)에 \(x=3\)을 대입해 좌우 기울기가 각각 \(-6\), \(6\)이 됨을 구성했다. 따라서 이 점에서는 미분가능하지 않다고 스스로 결론 내렸다.
마지막에는 \(x=0\)처럼 절댓값 안이 0이 아닌 점을 따로 대입해 꺾이는 점 조건이 성립하지 않음을 확인했다. 학생은 계산 결과 자체와 그 결과를 적용할 수 있는 조건을 분리해 설명하며, 절댓값 함수의 미분가능성 판단 범위를 정확히 점검했다.