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간석동 인천예술고등학교 수학과외

꺾이는 점에서 계산값과 미분가능 조건을 나누어 본 풀이

간석동에서 인천예술고등학교 수학 과제를 살펴보던 학생은 절댓값이 포함된 함수의 미분가능성을 묻는 문항에서 먼저 문제에 주어진 수와 식 전체를 한꺼번에 옮기지 않았다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 점과 그 점에서의 변화율만 골라 확인하려고 했다.

예를 들어 \(f(x)=|x^2-4|\)에서 \(x=2\)의 미분가능성을 판단할 때 학생은 \(x=2\)를 대입해 절댓값 안이 0이 된다는 사실까지는 찾았다. 하지만 그 뒤 계산한 값만으로 결론을 내리려 했고, 그 결론이 절댓값 안의 식이 0이 되는 꺾이는 점에서만 필요한 판단이라는 점은 구분하지 못했다.

절댓값 안의 식이 0이 되는 순간에 멈춘 이유

교정에서는 먼저 \(u(x)=x^2-4\)로 두고 \(u(2)=0\)인지 확인한 다음, \(u'(2)=4\)를 계산하게 했다. \(u'(2)\neq0\)이므로 \(u(x)\)의 부호가 \(x=2\)의 좌우에서 달라지고, \(f(x)\)는 그 점에서 꺾인다. 실제로 좌미분계수는 \(-4\), 우미분계수는 \(4\)이므로 서로 같지 않아 미분가능하지 않다.

절댓값 안이 0이 되는 점에서는 대입 결과만 보지 말고, 좌우 미분계수가 같은지 확인해야 한다.

반대로 절댓값 안이 0이 되지 않는 점에서는 해당 근방에서 부호가 일정하므로 절댓값을 벗겨 일반적인 식으로 미분할 수 있다는 점도 함께 구별했다. 학생은 답을 참고하지 않고 ‘절댓값 안이 0인지 확인 → 그 점에서 좌우 변화율 비교 → 미분가능 조건 판정’의 순서로 풀이를 한 줄씩 다시 작성했다.

식을 바꾼 독립 문항에서 조건을 직접 판정하다

이후 \(g(x)=|x^2-9|\)의 \(x=3\)에서의 미분가능성을 새로 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 \(x^2-9=0\)이 되는 점이 \(3\)임을 먼저 찾은 뒤, 안쪽 식의 미분값 \(2x\)에 \(x=3\)을 대입해 좌우 기울기가 각각 \(-6\), \(6\)이 됨을 구성했다. 따라서 이 점에서는 미분가능하지 않다고 스스로 결론 내렸다.

마지막에는 \(x=0\)처럼 절댓값 안이 0이 아닌 점을 따로 대입해 꺾이는 점 조건이 성립하지 않음을 확인했다. 학생은 계산 결과 자체와 그 결과를 적용할 수 있는 조건을 분리해 설명하며, 절댓값 함수의 미분가능성 판단 범위를 정확히 점검했다.

학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위

현재 수강 과목, 교과서와 학교 자료, 실제 시험 범위를 확인해 필요한 내용을 정합니다. 아래 예시는 특정 학교의 출제 경향이나 실제 학생의 수업 사례를 뜻하지 않습니다.

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

수업 진행 예시

식의 변형을 다시 확인하기

x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.

조건 때문에 제외되는 값 찾기

분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.

이미 배운 내용과 실제 수강 과목에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율합니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

간석동 수학과외 수업 후기

시험 전 마지막 복습을 하던 저녁, 아이가 시험지 한쪽에 틀린 이유를 짧게 적어 두고 다시 확인할 부분은 따로 남겨 두더라고요. 원래 시험지에 메모가 뒤섞여 있으면 나중에 어디를 봐야 할지 찾기 어려웠는데, 그날에는 표시가 한눈에 들어왔어요. 간석동 수학과외를 알아보며 책상 주변을 정리하던 날에도 그 시험지가 눈에 띄었습니다. 모의고사 성적표를 받은 뒤라 책상 위가 꽤 어수선했는데, 틀린 문제를 유형별로 새 종이에 옮겨 적은 게 아니라 시험지 원본에 이유만 남겨 둔 상태였어요. 예전에는 공부가 끝나면 앞에서 풀었던 부분을 다시 꺼내 보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 적어 둔 이유를 따라가며 다시 볼 곳을 바로 찾고 있었습니다. 문제를 다시 분류한 건 아니어도, 자기 시험지 안에서 확인할 지점이 분명하게 남아 있었어요.

★★★★★수업 후기

다음 수행평가 자료를 챙기던 날, 아이가 서술형 문제를 풀다가 답안 전체를 다시 쓰는 대신 틀린 중간식부터 고쳐 적고 있더라고요. 마지막에는 확인한 자리에 작게 표시까지 남겨 두었어요. 예전엔 계산이나 판단이 어긋나도 어디서부터 달라졌는지 따로 표시하지 않았는데, 이번에는 시작된 부분을 찾아 손을 댄 모습이 먼저 보였어요. 수학 수업 전날 저녁에 방에 잠깐 들어갔다가도 비슷한 장면을 봤습니다. 이미 적어 둔 서술형 답안을 지운 흔적이 있었고, 새로 쓴 내용도 결론부터 고친 게 아니라 중간식부터 다시 이어져 있었어요. 간석동 수학과외 이야기를 나누며 자료를 정리하던 때라 더 눈에 띄었는데, 답을 통째로 바꾸기보다 틀린 자리부터 되짚은 점이 전과 달랐습니다.

★★★★★수업 후기

새 문제집을 펼치자마자 숫자부터 계산하지 않고 문제의 조건 문장을 먼저 훑더라고요. 끝까지 읽은 뒤 확인한 부분과 다시 봐야 할 부분을 나눠 표시하고 나서야 풀이를 시작했어요. 앞에서 봤던 시험지 장면과 비슷해서 저도 잠깐 손을 멈추고 지켜봤습니다. 가방에서 시험지를 꺼내 정리하던 날에도 아이는 문제를 한 번 더 읽으면서 수치보다 조건이 적힌 문장에 먼저 표시를 해두고 있었어요. 전에는 답이 맞으면 중간에 어떤 과정을 거쳤는지는 잘 돌아보지 않았거든요. 간석동 수학과외 이야기를 나누며 지켜보게 된 요즘, 숫자에 바로 달려들기보다 조건을 먼저 확인하는 모습이 인상에 남았습니다. 이번에는 표시한 문장과 아직 살피지 않은 부분이 구분돼 있어서, 문제를 어디까지 읽었는지도 한눈에 보였어요.

★★★★★수업 후기

시험 범위를 절반쯤 공부했을 무렵, 아이가 간석동 수업을 마치고 미루지 않고 그날 배운 내용을 다시 펼쳐 보는 모습이 보였습니다. 선생님은 쉬운 문제부터 차근차근 시작하게 하고, 집중이 흐트러지면 설명을 반복하기보다 문제와 활동을 바꿔 부담을 덜어 주셨습니다. 수학을 시작할 때의 막막함이 조금 줄어든 것 같아 마음이 놓였습니다.

★★★★★수업 후기

어려운 단원을 앞두고 걱정하던 아이가 간석동 수학 과외를 시작한 뒤, 수업에서 문제 수를 무리하게 늘리지 않고 틀린 이유부터 차분히 살펴보는 모습이 인상적이었습니다. 예전에는 표시만 해두던 문제도 선생님이 복습할 부분을 정해 주니 수업 후 다시 풀어 보려 했고, 미룬 날에도 다음 날 이어서 하는 습관이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★수업 후기

방학이라 생활 리듬이 늦어지고 숙제도 많게 느껴졌지만, 간석동 수학과외 선생님은 그날 할 일을 함께 나누며 부담을 줄여 주셨습니다. 예전에는 쉬운 문제도 정답부터 확인하려 했는데, 이제는 수업 전에 궁금한 점과 틀린 이유를 간단히 적어 질문하려고 합니다. 진도가 빨리 나간 날에도 복습과 오답 확인으로 마무리해 학교 일정이 바뀌어도 공부 계획을 다시 세우는 모습이 보기 좋았습니다.

★★★★★수업 후기