인천동구 동산고등학교 수학과외
도함수의 0과 원함수의 극값을 연결한 판단
동산고등학교 학생과 그래프를 해석하는 문항을 풀던 중, 학생은 먼저 그림에서 도함수의 그래프가 x축과 만나는 위치를 표시했다. 송현지구와 송림지구에서 이어진 수업에서도 계산보다 그래프의 대응 관계를 먼저 확인하는 방식으로 접근했다.
x축과 만나는 점을 극값 후보로 읽은 과정
학생은 표시한 위치를 원함수의 극값 후보와 연결해 중간 결과를 점검했다. 그러나 풀이가 진행되면서 단순히 \(f'(x)=0\)인 점을 찾는 것과 실제 극값을 확정하는 것은 다르다는 점에서 판단이 흔들렸다. 도함수의 부호가 그 점을 기준으로 바뀌는지 확인해야 했지만, 선택지에 맞는 후보를 찾은 뒤 반례를 끝까지 살피지 않고 답을 정했다.
도함수의 x절편은 원함수의 극값 후보를 알려 주지만, 극대나 극소의 확정에는 양쪽에서의 증가·감소 변화 확인이 필요하다.
후보와 확정을 분리해 다시 본 그래프
교정할 때는 표시된 점마다 왼쪽과 오른쪽에서 \(f'\)의 부호를 따로 적게 했다. 음수에서 양수로 바뀌면 원함수는 감소하다 증가하므로 극소 후보가 되고, 양수에서 음수로 바뀌면 증가하다 감소하므로 극대 후보가 된다. 반대로 \(f'(x)=0\)이더라도 부호가 바뀌지 않으면 극값으로 확정할 수 없다는 반례를 함께 확인했다.
학생은 이를 “도함수의 그래프가 x축을 가로지르는지 살피고, 그 결과 원함수의 증가와 감소가 어떻게 달라지는지 읽는다”라고 바꾸어 설명했다. 이 과정에서 x절편을 찾는 계산만 외운 것이 아니라 극값 판정의 기준을 구분하고 있는지 확인할 수 있었다.
정답 후보 없이 완성한 새 문항
이후에는 선택지를 제거한 새 그래프 문항을 제시했다. 학생은 먼저 \(f'(x)=0\)에 해당하는 위치를 표시하고, 각 위치의 좌우 부호를 확인한 다음 극대·극소 여부를 나누었다. 마지막에는 극값으로 볼 수 없는 점까지 따로 남겨 조건과 계산 결과가 일치하는지 검산한 뒤 최종 답을 구성했다.
마지막 검증에서는 수치 없이도 같은 원리를 설명하게 했다. 학생은 “도함수의 x절편은 출발점이고, 실제 극값인지는 그 주변에서 원함수의 증가와 감소가 바뀌는지로 결정한다”고 정리했으며, 후보와 확정의 차이를 스스로 구분했다.