계산동 계산고등학교 수학과외







분모가 0인 점에서 멈춘 풀이
계산동에서 수학 과외를 진행하던 중, 계산고등학교 학생은 분수함수의 그래프에서 분모가 0이 되는 점을 찾는 문제를 풀었다. 새 문항의 요구값을 네모로 표시한 뒤, 그 값이 분모의 영점과 어떤 관계를 갖는지 먼저 따라갔다.
처음에는 분모가 0이 되는 값만 찾으면 제거가능 불연속이라고 판단하려 했다. 여백에는 분모의 인수가 사라지는 지점을 표시했지만, 약분이 가능한 경우와 단순히 함수가 정의되지 않는 경우를 나누는 과정에서 풀이를 다시 시작해야 했다.
약분 가능성만으로 답을 확정한 장면
선택지를 검토하던 학생은 분모를 0으로 만드는 후보가 분자에도 포함될 수 있다는 점을 확인하고 정답으로 골랐다. 그러나 그 후보에서 분자가 실제로 0이 되는지, 약분한 뒤의 식이 해당 점 근처에서 유한한 값으로 가까워지는지까지 확인하지 않았다.
예를 들어 원래 식이 f(x)=(x-a)g(x)/(x-a) 꼴이라면 x≠a에서 약분되어 g(x)가 되므로, g(x)가 a에서 유한한 값을 가질 때에만 x=a는 제거가능 불연속점이 된다. 반대로 분모만 0이 되고 분자가 0이 되지 않는 후보는 약분할 수 없으므로 같은 결론을 내릴 수 없다.
학생은 틀린 선택지를 지우는 데 그치지 않고, 그 후보를 원래 식에 대입했을 때 분자는 0이 아닌데 분모만 0이 되는 반례를 만들어 보았다. 이 확인을 통해 ‘분모가 0’이라는 조건 하나만으로는 부족하고, 분자도 함께 0이 되며 약분 후 극한이 유한해야 한다는 기준을 분명히 했다.
후보를 없앤 문항에서 순서를 스스로 정리하다
이후에는 앞서 선택한 값을 정답 후보에서 제외한 새 문제를 제시했다. 학생은 먼저 분모의 영점을 찾고, 그 값을 분자에 대입해 함께 0이 되는지 확인한 다음, 공통인수를 약분했다. 마지막으로 약분된 식의 해당 점에서의 극한이 유한한지 검산해 답을 구성했다.
마지막 검증에서는 특정 수치를 외우지 않고 일반 원리로 설명하게 했다. 분모가 0이 되는 점이 제거가능 불연속이 되려면 원래 함수에서는 그 점이 정의되지 않더라도, 분자와 분모의 공통인수를 제거한 식이 그 점에서 유한한 극한을 가져야 한다는 조건을 식의 형태로 다시 표현했다.
학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위
현재 수강 과목, 교과서와 학교 자료, 실제 시험 범위를 확인해 필요한 내용을 정합니다. 아래 예시는 특정 학교의 출제 경향이나 실제 학생의 수업 사례를 뜻하지 않습니다.
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
수업 진행 예시
식의 변형을 다시 확인하기
x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.
조건 때문에 제외되는 값 찾기
분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.
이미 배운 내용과 실제 수강 과목에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율합니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
고등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 고등 | 33~50만 원 | 30~46만 원 |
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